Свойства отношений

Отношения эквивалентности и порядка

Определение. Бинарное отношение на множестве называют отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно .

Пример 1. На множестве всех треугольников отношение, определяемое как , является тривиальным отношением эквивалентности.

Пример 2. Отношение, определяемое на множестве всех программ

Поскольку из понятия равенства (скажем, между числами) возникает математическое понятие эквивалентности, некоторые неравенства могут также использоваться как модели для более широкого класса отношений.

Частичным порядком на множестве назовем отношение, которое рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Порядок (называемый также отношением порядка) - это обобщение отношения на . Поэтому можно легко проверить требуемые три свойства. Заметим, что мы могли бы в качестве определения взять отношение . Тогда отношение порядка было бы только транзитивно. Следовательно, свойство транзитивности является наиболее важным для отношения порядка.

Определив отношение можно определить отношение следующим образом: .

Аналогично, если задано , то . Пример 1. Порядок чисел на действительной оси является полным.

Пример 2 ( рис. 4.5). Отношение рефлексивно, антисимметрично, транзитивно.

Рис. 4.5.

Функции

Подмножество называется функцией, если для каждого элемента , найдется не более одного элемента вида ;

При этом если для каждого элемента имеется один элемент вида , то функция называется всюду (полностью) определенной, в противном случае - частично определенной (недоопределенной).

Множество образует область определения функции , множество - область значения функции . Часто вместо записи используют запись ; при этом называют аргументом или переменной, а - значением функции.

Пример. ( рис. 4.6).

Рис. 4.6.

Функция является отображением, если область ее определения совпадает с , т. е. . Отображение на множество называют трансформацией (преобразованием).