Лекция 9: Алгоритм Дейкстра поиска кратчайших путей в графе

Пятая итерация

Ш А Г 2. Находим Г(х₄) = { х₃, х₅, х₆, х₇ }. Метки вершин х₃, х₅ и х₆ временные, следовательно, пересчитываем их значения:

L(х₃) = min [ 23, 7 + 25 ] = 23,

L(х₅)= min [ 29, 7 + 5 ] = 12,

L(х₆)= min [17, 7 + 16] = 17.

Ш А Г 3. На данном шаге итерации имеем следующие временные метки вершин:

L(х₃) = 23, L(х₅) = 12,

L(х₆) = 17, L(х₉) = 11.

Очевидно, что минимальную метку, равную 11 имеет вершина х₉ .

Ш А Г 4. За следующую текущую метку принимаем вершину х₉ , т. е. p = х₉ , а ее метка становится постоянной, L(х₉) = 11⁺ .

Ш А Г 5. Так как не все вершины графа имеют постоянные метки, переходим к шагу 2.

Шестая итерация

Ш А Г 2. Находим Г(х₉) = {х₁, х₂, х₆, х₇, х₈}. Метка вершины х₆ временная, следовательно пересчитываем ее значение:

L(х₆) = min [17, 11 + 9] = 17.

Ш А Г 3. На данном шаге итерации имеем следующие временные метки вершин:

L(х₃) = 23, L(х₅) = 12, L(х₆) = 17.

Очевидно, что минимальную метку, равную 12 имеет вершина х₅ .

Ш А Г 4. За следующую текущую метку принимаем вершину х₅ , т. е. p = х₅ , а ее метка становится постоянной, L(х₅) = 12⁺ .

Ш А Г 5. Так как не все вершины графа имеют постоянные метки, переходим к шагу 2.

Седьмая итерация

Ш А Г 2. Находим Г(х₅) = { х₄, х₆ }. Метка вершины х₆ временная, следовательно, пересчитываем ее значение:

L(х₆)= min [17, 12 + 10 ] = 17.

Ш А Г 3. На данном шаге итерации имеем следующие временные метки :

L(х₃) = 23, L(х₆) = 17.

Очевидно, что минимальную метку, равную 17 имеет вершина х₆ .

Ш А Г 4. За следующую текущую метку принимаем вершину х₆ , т. е. p = х₆ , а ее метка становится постоянной, L(х₆) = 17⁺ .

Ш А Г 5. Так как не все вершины графа имеют постоянные метки, переходим к шагу 2.

Восьмая итерация

Ш А Г 2. Находим Г(х₆) = { х₃, х₅, х₇, х₈, х₉ }. Метка вершины х₃ временная, следовательно, пересчитываем ее значение:

L(х₃) = min [ 23, 17 + 20 ] = 23.

Ш А Г 3. На данном шаге итерации имеем одну временную метку вершины: L(х₃) = 23, которая становится постоянной.

Ш А Г 4. Все вершины имеют постоянные метки, поэтому алгоритм окончен.

Для нахождения кратчайшего пути между вершинами, например, х₂ и начальной х₁ последовательно используем соотношение ( ** ): L(x^'₂)+c(x^'₂,x₂)=L(x₂)=5, где вершина x^'₂ – это вершина, непосредственно предшествующая х₂ в кратчайшем пути от х₁ к х₂ .

Единственной такой вершиной является вершина х₇ . Далее соотношение ( ** ) применяем второй раз:

L(x₇')+ с(x₇’, x₇) = L(x₇) = 3

Единственной такой вершиной является вершина х₁ . Поэтому кратчайший путь от х₁ к х₂ есть ( х₁, х₇, х₂). Вершина х₁ , называемая базой и дающая все кратчайшие пути от х₁ представляет дерево.

Рис. 9.5.