Вятский государственный университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 2750 / 538 | Оценка: 4.31 / 3.94 | Длительность: 06:04:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 1:

Графы и способы их представления

Лекция 1: 12 || Лекция 2 >
Аннотация: Приводятся начальные сведения о графах и основные понятия и определения такие как орграф, смешанный граф, дубликат графа дуга, петля, полустепени исхода и захода. Даются возможные способы представления графов. Цель лекции: Дать представление о графах и возможных способах их представления.

Введение

В последние годы особую важность приобрели те разделы математики, которые имеют отношение к развитию цифровых устройств, цифровой связи и цифровых вычислительных машин. Базой для преподавания этих дисциплин наряду с классическими методами анализа непрерывных физических моделей стали алгебраические, логические и комбинаторные методы исследования различных моделей дискретной математики.

Значительно возросла популярность теории графов – ветви дискретной математики. Графы встречаются во многих областях под разными названиями: "структуры" в гражданском строительстве, "сети" – в электронике, "социограммы" – в социологии и экономике, "молекулярные структуры" – в химии, "дорожные карты", электрические или газовые распределительные сети и т. д.

Родившись при решении головоломок и игр, таких, например, как задача о кенигсбергских мостах и игра Гамильтона, теория графов стала мощным средством исследования и решения многих задач, возникающих при изучении больших и сложных систем. Для специалистов по вычислительной технике, информационным системам и системам цифровой связи теория графов – это удобный язык выражения понятий из этой области; многие результаты теории графов имеют непосредственную связь с задачами, с которыми им приходится сталкиваться. Графическая интерпретация различных моделей графов дана на рис. 1.1 Так в виде ориентированных графов можно представить любую логическую или функционально - логическую схему ( рис. 1.1,а). На таких графовых моделях можно, например, оценить быстродействие схемы. Блок-схема алгоритма может быть представлена вероятностным графом ( рис. 1.1,б), который позволяет оценить временные характеристики алгоритма, затраты процессорного времени, трудоемкость и другие. Графом типа "дерево" можно отобразить практически любую структуру организации или предприятия ( рис. 1.1,в).

Широкое применение теория графов получила при исследовании так называемой проблемы оптимизации, возникающей при конструировании больших систем как технических, так и программных, например, таких, как компиляторы.

В рамках этих исследований были разработаны многие, неизвестные ранее теоретико-графовые понятия. Теория графов имеет большую привлекательность для специалистов в области проектирования для построения эффективных алгоритмов и анализа их сложности. Использование аппарата теории графов оказало существенное влияние на разработку алгоритмов конструкторского проектирования схем. Непосредственное и детальное представление практических систем, таких, как распределительные сети, системы связи, приводит к графам большого размера, успешный анализ которых зависит в равной степени, как от эффективных алгоритмов, так и от возможностей компьютерной техники. Поэтому в настоящее время основное внимание сосредоточено на разработке и описании компьютерных алгоритмов анализа графов. В связи с этим основной упор в данном учебном пособии делается на машинные способы представления графов и алгоритмы решения задач на графах, легко реализуемых на ЭВМ.

a

a
б

б
Графическая интерпретация применения графовых структур:  а – орграф; б – вероятностный граф; в – граф-дерево

Рис. 1.1. Графическая интерпретация применения графовых структур: а – орграф; б – вероятностный граф; в – граф-дерево

Графы и способы их представления

Основные определения

Граф задается множеством точек или вершин х1, х2, ..., хn и множеством линий или ребер a1, a2, ... , am, соединяющих между собой все или часть точек. Формальное определение графа может быть дано следующим образом.

Графом называется двойка вида

G = (X, A),

где X = {xi}, i = 1, 2, ..., n – множество вершин графа, A = {ai}, i = 1, 2,... , m – множество ребер графа.

Графы могут быть ориентированными, неориентированными и смешанными ( рис. 1.2). Если ребра у множества A ориентированы, что обычно показывается стрелкой, то они называются дугами, и граф с такими ребрами называется ориентированным графом или орграфом ( рис. 1.2,а).


Рис. 1.2.

Если ребра не имеют ориентации, то граф называется неориентированным ( рис. 1.2,б). Граф, в котором присутствуют и ребра, и дуги называется смешанным ( рис. 1.2,в). В случае, когда G = (X, A) является орграфом, и мы хотим пренебречь направленностью дуг из множества A, то неориентированный граф, соответствующий G, будет обозначаться и называться неориентированным дубликатом или неориентированным двойником ( рис. 1.2,г).

Дуга ai может быть представлена упорядоченной парой вершин n, хk), состоящей из начальной хn и конечной хk вершин. Например, для графа G1 ( рис. 1.2,а) дуга a1 задается парой вершин (x2, x1), а дуга а3 парой (x2, x3). Если хn, хk – концевые вершины дуги ai, то говорят, что вершины хn и хk инцидентны дуге ai или дуга ai инцидентна вершинам хn и хk.

Дуга, у которой начальная и конечная вершины совпадают, называется петлей. В графе G3 ( рис. 1.2,в) дуга a7 является петлей.

Каждая вершина орграфа хi может характеризоваться полустепенью исхода d0i) и полустепенью захода dti).

Полустепенью исхода вершины хid0i) называется количество дуг, исходящих из этой вершины. Например, для графа G1 ( рис. 1.2,а) характеристики полустепеней исхода следующие: d01)=1, d02)=2, d03)=2, d04 )=1.

Полустепенью захода вершины хidti) называется количество дуг, входящих в эту вершину. Например, для орграфа G1: dt1)=2, dt2)=1, dt3)=2, dt4 )=1.

Очевидно, что сумма полустепеней исхода всех вершин графа, а также сумма полустепеней захода всех вершин графа равна общему числу дуг графа, т. е.

\sum ^{n}_{i=1}d_{0}(x_{i})=\sum ^{n}_{i=1}d_{t}(x_{i})=m

где n – число вершин графа, m – число дуг.

Каждая вершина неориентированного графа хi может характеризоваться степенью вершины d(хi).

Степенью вершины хid(хi) называется количество ребер, инцидентных этой вершине. Например, для орграфа G1 ( рис. 1.2,б) характеристики степеней следующие: d(х1)=2, d(х2)=3, d(х3)=3, d(х4 )=2.

Лекция 1: 12 || Лекция 2 >
Dmitry Schelkov
Dmitry Schelkov

В лекции 3 часть номер 2 приведён пример нахождения транзитивного замыкания по матрице смежности. Из примера для обратного транзитивного замыкания видно, что путь для достижения вершины х6 в вершину х3 равен 3, а не 2, как показано в табличном примере. Мне кажется, что в лекции ошибка.

Вячеслав Коваленко
Вячеслав Коваленко

В курсе "Введение в теорию графов" в лекции 4 "Достижимость в графарх" дано выражение для нахождения множетсва вершин, входящих в путь из одной вершины графа в другую и по рис.4.2. показан пример нахождения такого множества для пути из вершины х2 в вершину х4 - это множетсво (х2, х3, х4, х5). По рисунку видно что путь не оптимален и для того, чтобы он проходил через все вершины этого множества, через х4 нужно пройти два раза. Правильно ли я понимаю, что данное определение пути дает не всегда оптимальный путь и что определение оптимально (кратчайшего) пути - отдельная задача? Или в примере ошибка?

Наталья Холкина
Наталья Холкина
Россия
Александр Кибирев
Александр Кибирев
Россия, Иваново, Ивановский государственный университет, 1999