Многозначные отображения и транзитивные замыкания

Многозначные отображения

Прямые отображения

Прямым отображением 1-го порядка вершины х_i является множество таких вершин графа, для которых существует дуга (х_i, x_j), т. е для графа G = (X, A), где X ={ х_i }, i =1, 2, ..., n – множество вершин, а A = {a_i}, i = = 1, 2, ..., m – множество дуг.

Прямое отображение 2-го порядка вершины х_i – это прямое отображение от прямого отображения 1-го порядка, т. е. Г⁺²( х_i ) = Г⁺( Г⁺¹ ( х_i ) ).

Аналогично можно записать для прямого отображения 3-го и т. д. n -го порядка.

Г⁺³(x_i)= Г⁺(Г⁺²(x_i))= Г⁺(Г⁺(Г⁺¹(x_i)))

...

Г⁺ⁿ(x_i)=Г⁺(Г^+(n-1)(x_i)).

Рис. 3.1. Орграф G

Прямые многозначные отображения для графа на рис. 3.1 находятся следующим образом:

Г⁺¹(x₁)=(x₂,x₃),

Г⁺²(x₁)=Г⁺(Г⁺¹(x₁))=Г⁺(x₂,x₃)=(x₃,x₅),

Г⁺³(x₁)=Г⁺(Г⁺²(x₁))=Г⁺(x₃,x₅)=(x₃,x₁) и т. д.

Обратные отображения

Обратным отображением 1-го порядка для вершины х_i является множество элементов x_j таких, что существует дуга (x_j, х_i), принадлежащая множеству дуг графа, т. е. .

Обратные отображения 2-го, 3-го и т. д. n -го порядка определяются следующим образом:

Г^-2(x_i)= Г^-(Г^-1(x_i)),

Г^-3(x_i)= Г^-(Г^-2(x_i)),

...

Г^-n(x_i)= Г^-(Г^(n-1)(x_i)).

Для графа на рис. 3.1 обратные многозначные отображения вершины х₁ находятся следующим образом:

Г^-1(x₁)=x₅,

Г^-2(x₁)= Г^-(Г^-1(x₁))=Г^-(x₅)= x₂,x₄,

Г^-3(x₁)= Г^-(Г^-2(x₁))=Г^-(x₂x₄)= x₁,

Г^-4(x₁)= Г^-(Г^-3(x₁))=Г^-(x₁)= x₅ и т.д.

П р и м е ч а н и я:

1. Когда отображение действует не на одну вершину, а на множество вершин Х_q = { х₁, х₂, ..., х_q }, то под Г(Х_q) понимают объединение

.

2. Многозначное отображение для неориентированного графа строится, если представить каждое ребро двумя противоположно направленными дугами ( рис. 3.2).

Рис. 3.2. Граф: а – неориентированный; б – тождественный ему ориентированный