НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 4: Базисы Гребнера

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1655 / 65 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00

ISBN: 978-5-9556-0099-4

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Как сказано выше, множество многочленов $G=\{g_1,\dots,g_k\}$ и алгоритм нормальной формы позволяют сформировать множества $\EuScript B_i$ , каждое из которых получается путем умножения многочлена g_i на некоторое множество мономов. -полиномы соответствуют многочленам g_i и мономам m_i , таким, что m_i является минимальным (относительно деления мономов) мономом, для которого $m_i\cdot g_i\notin \EuScript B_i$ . В действительности, проверять редуцируемость к нулю нужно только для таких многочленов (заметим, что при этом рассматриваются не все -полиномы, автоматически используется "правило треугольника"). Естественно потребовать, чтобы множество было авторедуцированным.

Алгоритм пополнения основан на описанном выше методе -полиномов и отличается от приведенного выше алгоритма тем, что в случае нередуцируемости -полинома его нормальная форма добавляется к множеству . При этом, как правило, меняется алгоритм нормальной формы, т.е. множества $\EuScript B_i$ , описанные выше.

Как правило, для повышения эффективности алгоритмов построения базисов Гребнера совершенствуются методы перебора -полиномов, но мало внимания уделяется рассмотрению возможных алгоритмов нормальной формы.

До настоящего момента мы никак не ограничивали выбор алгоритма нормальной формы, т.е. формирование множеств $\EuScript B_i$ для заданной системы многочленов $G=\{g_i\}$ . Теперь предположим, что на множестве мономов задано некоторое отношение "делимости" |_L , удовлетворяющее следующим аксиомам (аксиомы глобального инволютивного деления, см., например, [ 22 ] :

$u|_L v\implies u|v$ (в смысле обычного деления);
;
$u|_L w\wedge v|_L w\implies u|_L v\vee v|_L u$ ;
$u|_L uvw\iff u|_L uv\wedge u|_L uw$ ;
$u|_L v\wedge v|_L w\implies u|_L w$ (транзитивность).

В случае, если имеет место отношение $u\bigr|_Lv$ , мы будем говорить, что инволютивно делит .

Аксиомы 3 и 4 для случая двух переменных можно наглядно представить следующим образом.

Изобразим мономы вида x^iy^j на плоскости точками с координатами (i,j) . Тогда

множества инволютивных кратных для любых двух мономов либо не пересекаются, либо одно из них содержится в другом;
множество кратных монома представляется либо одной точкой , либо вертикальным или горизонтальным лучом, выходящим из этой точки, либо углом между вертикальным и горизонтальным лучами, выходящими из этой точки.

Обобщение на случай нескольких переменных очевидно.

10.2. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что глобальное инволютивное деление определяет для каждого монома множество M(u) его мультипликативных переменных как множество таких переменных, что инволютивно делит любое произведение на моном, включающий только мультипликативные переменные. Остальные переменные назовем немультипликативными для монома (обозначение NM(u) ).

Примеры глобальных инволютивных делений:

$M(x_1^{i_1}\dots x_k^{i_k})=\{x_k,\dots,x_n\}$ - правое деление Поммаре.
$M(x_k^{i_k}\dots x_n^{i_n})=\{x_1,\dots,x_k\}$ - левое деление Поммаре.
$M(x_1^{i_1}\dots x_n^{i_n})=\{x_k\ :\ i_k=\max_{m=1}^n i_m\}$ .

Для двух переменных правое и левое деление Поммаре можно проиллюстрировать следующим образом:

$\begin{picture}(120,120) \multiput(0,0)(20,0){7}% {\multiput(0,0)(0,20){7}{\put(0,0){\circle*{2}}}} \multiput(0,0)(20,0){6}{\put(0,0){\vector(1,0){18}}} \multiput(0,0)(20,0){7}% {\multiput(0,0)(0,20){6}{\put(0,0){\vector(0,1){18}}}} \end{picture}$

$\begin{picture}(120,120) \multiput(0,0)(20,0){7}% {\multiput(0,0)(0,20){7}{\put(0,0){\circle*{2}}}} \multiput(0,0)(0,20){6}{\put(0,0){\vector(0,1){18}}} \multiput(0,0)(0,20){7}% {\multiput(0,0)(20,0){6}{\put(0,0){\vector(1,0){18}}}} \end{picture}$

Для третьего примера геометрическая интерпретация выглядит следующим образом:

$\begin{picture}(120,120) \multiput(0,0)(20,0){7}% {\multiput(0,0)(0,20){7}{\put(0,0){\circle*{3}}}} \multiput(0,0)(20,0){6}{\put(0,0){\vector(1,0){18}}} \multiput(0,0)(0,20){6}{\put(0,0){\vector(0,1){18}}} \multiput(20,20)(20,0){5}{\put(0,0){\vector(1,0){18}}} \multiput(20,20)(0,20){5}{\put(0,0){\vector(0,1){18}}} \multiput(40,40)(20,0){4}{\put(0,0){\vector(1,0){18}}} \multiput(40,40)(0,20){4}{\put(0,0){\vector(0,1){18}}} \multiput(60,60)(20,0){3}{\put(0,0){\vector(1,0){18}}} \multiput(60,60)(0,20){3}{\put(0,0){\vector(0,1){18}}} \multiput(80,80)(20,0){2}{\put(0,0){\vector(1,0){18}}} \multiput(80,80)(0,20){2}{\put(0,0){\vector(0,1){18}}} \put(100,100){\vector(1,0){18}} \put(100,100){\vector(0,1){18}} \end{picture}$

10.4. УПРАЖНЕНИЕ. В кольце многочленов K[x,y,z] найти мультипликативные и немультипликативные переменные для мономов x^5 , x^3y^2 , xyz для каждого из глобальных инволютивных делений, рассмотренных в примерах 10.3.

Можно рассмотреть более общую ситуацию, когда фиксировано некоторое конечное множество мономов, а инволютивное деление зависит от этого множества. При этом в левой части отношения $u|_{L^V}$ могут стоять только мономы из множества .

10.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Согласно [ 21 ] , на моноиде задано инволютивное деление , если для каждого конечного подмножества $U\subset M$ и для каждого монома $u\in U$ определен подмоноид L(u,U) моноида , удовлетворяющий следующим условиям:

Если $w\in L(u,U)$ и , то $v\in L(u,U)$ ;
Если $u,v\in U$ и $uL(u,U)\cap vL(v,U)\ne\emptyset$ , то $u\in vL(v,U)$ или $v\in uL(u,U)$ ;
Если $v\in U$ и $v\in uL(u,U)$ , то $L(v,U)\subseteq L(u,U)$ ;
Если $V\subseteq U$ , то $\forall\;u\in V$ $L(u,U)\subseteq L(u,V)$ .

Образующие моноида L(u,U) называются мультипликативными переменными для . Если $w\in uL(u,U)$ , то пишут $u|_{L^V}$ , и моном называется ( )- инволютивным делителем монома а моном называется ( )- инволютивным кратным монома . В этом случае равенство w=uv мы будем записывать в виде $w=u\times v$ , в противном случае - в виде $w=u\cdot v$ , и моном будем называть немультипликативным для .

10.6. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что глобальное инволютивное деление является инволютивным делением в смысле определения 10.5.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Базисы Гребнера

Вопросы и ответы