НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 4: Базисы Гребнера

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1655 / 65 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00

ISBN: 978-5-9556-0099-4

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

9.33. ТЕОРЕМА. Пусть - свободный -модуль, $M\subseteq F$ - его -подмодуль, $G \subset M$ - конечное множество, - ранжир на множестве термов T_F . Предположим, что множество нормализовано таким образом, что $\textrm{Hcoeff}(g_i) = 1$ для всех $g_i\in G$ . Тогда эквивалентны следующие условия:

(1) является -базисом модуля ;

(1') любой элемент модуля допускает нормальное -представление;

(2) $\textbf{u}_G$ порождает $\textbf{u}_M$ ;

(3) для любого $f \in M$ имеет место $f\overset *{\underset G\to} 0$ ;

(3') для любого $f \in M$ имеет место $f\overset *{\underset G\Longrightarrow} 0$ ;

(4) если $f - f' \in M$ и f, f' нередуцируемы, то f =
f' ;

(5) если $f \in M$ и нередуцируем, то f = 0 .

Следующие условия являются необходимыми для выполнения предыдущих, и, если множество порождает , то они являются и достаточными:

(6) если $f, f' \in G$ и $S(f,f') \neq 0$ , то S(f,f') допускает -представление;

(6') если $f,f' \in G$ и $S(f,f') \neq 0$ , то S(f,f') допускает нормальное -представление;

(7) если $f,f' \in G$ и $НОД(\textbf{u}_f,\textbf{u}_{f'})$ определен, то в существуют элементы $f=f_0,\dots,f_i,\dots,f_s = f'$ , такие, что

$\begin{equation} НОД \{\textbf{u}_{f_i}: i=0,\dots,s\}=НОД (\textbf{u}_f,\textbf{u}_{f'}) \qquad \qquad \ecno(9.7) \end{equation}$

и каждый

-элемент $S(f_{i-1}, f_i )$ , $i=1,\dots,s$ , допускает

-представление;

(7') если $f,f' \in G$ и $НОК(\textbf{u}_f, \textbf{u}_{f')$ определен, то в существуют элементы $f=f_1,\dots,f_i,\dots,f_s = f'$ , удовлетворяющие условию (9.7), такие, что каждый -элемент $S(f_{i-1}, f_i )$ , $i=1,\dots, s$ , допускает нормальное -представление;

(8) если $f\overset*{\underset G\to}f'$ , $f\overset*{\underset G\to}f"$ и и нередуцируемы, то f'=f" ;

(9) если $f\overset*{\underset G\to}f'$ , $f\overset*{\underset G\to}f"$ , то существует элемент $h \in F$ , такой, что $f'\overset*{\underset G\to}h$ , $f"\overset*{\underset G\to}h$ , т.е. $\overset*{\underset G\to}$ удовлетворяет условию слияния;

(10) $S(f,f')\overset*{\underset G\to}0$ для любых $f,f'\in G$ ;

(10') $S(f,f')\overset*{\underset G\Longrightarrow}0$ для любых $f,f'\in G$ ;

(11) если $f,f' \in G$ и $НОК(\textbf{u}_f, \textbf{u}_{f'})$ определен, то в существуют элементы $f=f_0,\dots,f_i,\dots,f_r=f'$ , удовлетворяющие условию (9.7) и такие, что $S(f_{i-1}, f_i)\overset*{\underset G\to}0$ для всех $i = 1,\dots,r$ ;

(11') если $f,f' \in G$ и $НОК(\textbf{u}_f, \textbf{u}_{f')$ определен, то в существуют элементы $f=f_0,\dots,f_i,\dots,f_r=f'$ , удовлетворяющие условию и такие, что $S(f_{i-1}, f_i)\overset*{\underset G\Longrightarrow}0$ для всех $i = 1,\dots,r$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем следующие импликации:

$\begin{align*} \quad&(3) \to (10) \to (11) \\ &(3') \to (10') \to (11') \to (11) \\ &(3) \to (4) \to (5) \to (3') \to (3) \\ &(3) \to (2) \to (1') \to (1) \to (6) \to (7) \to (11) \to (9) \to (3) \\ &(1') \to (6') \to (7') \to (7) \\ &(4) \to (8) \to (9) \end{align*}$

$(3) \to (10)$ . Тривиально, поскольку $S(f,f') \in M$ .

$(3') \to (10')$ . Аналогично.

$(10) \to (11)$ . Достаточно положить r=1 .

$(10') \to (11')$ . Аналогично.

$(11') \to (11)$ . Тривиально.

$(3) \to (4)$ . По предложению (9.23) множество нередуцируемых элементов является векторным пространством, значит, если и нередуцируемы, то и их разность нередуцируема. Поскольку $f - f' \in M$ , из 3 и предыдущего замечания следует, что f - f' =
0 , т.е. (4)

$(4) \to (5)$ . Полагаем f' = 0 .

$(5) \to (3')$ . Достаточно применить леммы 9.21 и 9.22.

$(3') \to (3)$ . Очевидно.

$(3) \to (2)$ . Пусть $u \in M$ и $\textbf{u}_u \notin(\textbf{u}_G)$ . Тогда элемент не может редуцироваться к 0, что противоречит (3).

$(2) \to (1')$ . Пусть существуют $0 \neq u \in M$ , для которых нет нормального -представления. Среди таких элементов выберем элемент с минимальным $\textbf{u}_u$ . По условию (2) можно применить шаг редукции, сокращающий $\textbf{u}_u$ . Полученное противоречие с минимальностью $\textbf{u}_u$ доказывает (1')).

$(1')\to (1)$ . Очевидно.

$(1) \to (6)$ . Достаточно заметить, что если $f \in G$ , $f' \in G$ , то $S(f,f') \in M$ .

$(1')\to (6')$ . Аналогично.

$(6) \to (7)$ . Очевидно.

$(6') \to (7')$ . Также очевидно.

$(7') \to (7)$ . Очевидно.

$(7) \to (11)$ . Пусть $1\le i\le r$ , $u=S(f_{i-1},f_i)$ и $u=\sum\limits_{j=1}^rc_j\theta_jg_j$ , $0\ne c_j\in K$ , $\theta_j \in T(X)$ , $g_j\in G$ , $\theta_i\textbf{u}_{g_i}>\theta_{i+1}\textbf{u}_{g_{i+1}}$ - -представление элемента . Положим $u_k =\sum\limits_{j=k}^r c_j \theta_j g_j$ . Тогда

$u=u_1 \xrightarrow[G]{} u_2 \xrightarrow[G]{}\dots \xrightarrow[G]{} u_r \xrightarrow[G]{}0.$

$(11) \to (9)$ . Ввиду леммы 9.32, достаточно доказать, что отношение редукции удовлетворяет псевдолокальному условию слияния. Пусть $f \to f'$ , $f\to f"$ . Это означает существование элементов $g', g'' \in G$ , $\eta ', \eta''\in T(X)$ , $\varphi '=\eta '\textbf{u}_{g'}$ , $\varphi''=\eta''\textbf{u}_{g''}$ , таких, что $f' = f-c'\eta 'g'$ , $f'' = f-c''\eta''g''$ , где $c'=c(f,\varphi ')\neq 0$ , $c''=c(f,\varphi'')\neq 0$ , но $c(f',\varphi ')= c(f'',\varphi'')=0$ . Можно предполагать, что $\varphi'' \leq \varphi'$ . Обозначим $R(\xi ) = \xi - \textrm{Hcoeff}(\xi )\textbf{u}_\xi$ для любого $\xi \in F$ .

Выделим в слагаемое $c'\varphi'$ , т.е. $f = f_1 +c'\varphi '+f_2$ , где f_1 состоит из слагаемых, которые больше, чем $c'\varphi'$ , а f_2 - из слагаемых, меньших $c'\varphi'$ . Нужно рассмотреть два случая: $\varphi'' <\varphi'$ и $\varphi''=\varphi'$ . В первом из них, полагая $f_2''= f_2 - c''\eta''g''$ и $f_0 =f_1 -c'\eta 'R(g')+f_2''$ , по лемме 9.28 получаем $f'=(f_1 -c'\eta 'R(g'))+f_2 \nabla (f_1 -c'\eta 'R(g'))+f_2''=f_0$ , откуда $f' \nabla f''$ .

В случае, когда $\varphi '=\varphi''$ , одновременно выполняются условия $\textbf{u}_{g'} \ll \varphi '$ и $\textbf{u}_{g''} \ll \varphi''$ . Поэтому определен $НОД(\textbf{u}_{g'}, \textbf{u}_{g''})$ . По условию 11 доказываемой теоремы в существует последовательность $g' = g_0 ,\dots, g_i,\dots, g_t =g''$ , удовлетворяющая условию (9.7) и такая, что $S(g_{i-1},g_i ) \xrightarrow{*} 0$ для любого . Значит, $\textbf{u}_{g_i}\ll \varphi'$ для любого , поэтому существуют $\eta _i \in T$ , такие, что $\eta _i \textbf{u}_{g_i}= \varphi '$ , $c'\varphi'\to -c'\eta_i R(g_i)$ и $f \to f_1 -c'\eta_i R(g_i)+f_2 =h_i$ , $i=1,\dots,t$ . Покажем, что $h_{i-1} \nabla h_i$ . Это следует из того, что

$h_i -h_{i-1} = c'\eta _{i-1}R(g_{i-1})-c'\eta _i R(g_i ) = c'\theta S(g_i,g_{i-1}) \xrightarrow{*} 0,$

где $\theta \in T(X)$ и удовлетворяет условию $\theta \cdot НОД(\textbf{u}_{g_i}, \textbf{u}_{g_{i-1}}) = \varphi'$ . Следовательно, отношение $\to$ удовлетворяет псевдолокальному условию слияния.

$(9) \to (3)$ . Если множество порождает , то по лемме 9.24 существуют элементы $f=f_0,\dots, f_i,\dots, f_s =0$ , такие, что для любого либо $f_{i-1}\to f_i$ , либо $f_i\to f_{i-1}$ . Пусть обозначает наибольший индекс, для которого не выполняется условие $f_i \xrightarrow{*} 0$ . Тогда $f_{k+1}\xrightarrow{*} 0$ и $f_{k+1}\to f_k$ . По условию 9 $0 \nabla f_k$ , и получаем противоречие с выбором , поскольку редуцируется только в самого себя.

$(4) \to (8)$ . $f'-f'' = (f'-f)-(f''-f) \in M$ , следовательно, f'=f'' .

$(8) \to (9)$ . Пусть $f \xrightarrow{*} f'$ и $f \xrightarrow{*} f''$ . Выберем нередуцируемые f_1' и f_1'' такие, что $f' \xrightarrow{*} f_1'$ , $f''\xrightarrow{*} f''_1$ . Из (8) следует, что f'_1 =
f_1'' , т.е. отношение $\to$ удовлетворяет условию слияния.

Поскольку вопрос о -представимости элемента может быть решен алгоритмически, пункт (6') дает нам возможность сформулировать алгоритм проверки, является ли данная система образующих подмoдуля его базисом Гребнера. Пункт (7') этой же теоремы позволяет нам оптимизировать полученный алгоритм, проверяя -представимость не всего множества -элементов, а только некоторого его подмножества.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Базисы Гребнера

Вопросы и ответы