Преобразования случайных величин

Функции от двух случайных величин

Пусть \[ \xi_1 \] и \[ \xi_2 \] - случайные величины с плотностью совместного распределения \[ f_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2) \] , и задана борелевская функция \[ g:\mathbb R^2\to\mathbb R \] . Требуется найти функцию (а если существует, то и плотность) распределения случайной величины \[ \eta=g(\xi_1,\xi_2) \] .

Пользуясь тем, что вероятность случайному вектору попасть в некоторую область можно вычислить как объем под графиком плотности распределения вектора над этой областью, сформулируем утверждение.

Теорема 30. Пусть \[ x\in\mathbb R \] , и область \[ D_x\,\subseteq\,\mathbb R^2 \] состоит из точек \[ (u,\,v) \] таких, что \[ g(u,\,v)<x \] . Тогда случайная величина \[ {\eta=g(\xi_1,\,\xi_2)} \] имеет функцию распределения \[ F_\eta(x)=\Prob\bigl(g(\xi_1,\,\xi_2)<x\bigr)= \Prob\bigl((\xi_1,\,\xi_2)\in D_x\bigr) =\mathop{\int\int}\limits_{\!D_x} f_{\xi_1,\,\xi_2}(u,\,v)\,du\,dv. \]

Далее в этой лекции предполагается, что случайные величины \[ \xi_1 \] и \[ \xi_2 \] независимы, т.е. \[ f_{\xi_1,\,\xi_2}(u,\,v)\equiv f_{\xi_1}(u)\,f_{\xi_2}(v) \] . В этом случае распределение величины \[ g(\xi_1,\,\xi_2) \] полностью определяется частными распределениями величин \[ \xi_1 \] и \[ \xi_2 \] .

Следствие 9 (формула свертки). Если случайные величины \[ \xi_1 \] и \[ \xi_2 \] независимы и имеют абсолютно непрерывные распределения с плотностями \[ f_{\xi_1}(u) \] и \[ f_{\xi_2}(v) \] , то плотность распределения суммы \[ \xi_1+\xi_2 \] существует и равна "свертке" плотностей \[ f_{\xi_1} \] и \[ f_{\xi_2} \] : \[ \begin{equation} f_{\xi_1+\,\xi_2}(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{\xi_1}(u) f_{\xi_2}(t-u) du= \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{\xi_2}(u) f_{\xi_1}(t-u) du. \end{equation} \]

Доказательство. Воспользуемся утверждением теоремы 30 для борелевской функции \[ g(u,v)=u+v \] . Интегрирование по двумерной области \[ {D_x=\{(u,\,v) | u+v<x\}} \] можно заменить последовательным вычислением двух интегралов: наружного - по переменной \[ u \] , меняющейся в пределах от \[ -\infty \] до \[ +\infty \] , и внутреннего - по переменной \[ v \] , которая при каждом \[ u \] должна быть меньше, чем \[ x-u \] . Поэтому \[ F_{\xi_1+\,\xi_2}(x) =\mathop{\int\int}\limits_{\!D_x} f_{\xi_1}(u) f_{\xi_2}(v)\,dv\,du= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\!\left( \int\limits_{-\infty}^{\,x-u}\! f_{\xi_1}(u) f_{\xi_2}(v)\,dv\!\right)\!du. \] Сделаем в последнем интеграле замену переменной \[ v \] на \[ t \] так: \[ v={t-u} \] . При этом \[ v\in(-\infty,\, x-u) \] перейдет в \[ t\in(-\infty,\,x) \] , \[ {dv=dt} \] . В полученном интеграле меняем порядок интегрирования: \[ F_{\xi_1+\,\xi_2}(x)=\!\int\limits_{\!\!-\infty }^{\infty} \!\!\!\left(\, \int\limits_{\!-\infty}^{x}\!\! f_{\xi_1}(u) f_{\xi_2}(t-u) dt \!\right)\! du= \!\!\int\limits_{\!-\infty }^{x}\ \!\!\!\!\left(\, \int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\! f_{\xi_1}(u) f_{\xi_2}(t-u)\,du \!\right)dt. \] Итак, мы представили функцию распределения \[ F_{\xi_1+\,\xi_2}(x) \] в виде интеграла от \[ {-\infty} \] до \[ x \] от плотности распределения \[ f_{\xi_1+\,\xi_2}(t) \] из формулы свертки (17).

Следствие 9 не только предлагает формулу для вычисления плотности распределения суммы, но и утверждает, что сумма двух независимых случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями также имеет абсолютно непрерывное распределение.

Упражнение. Для тех, кто уже ничему не удивляется: привести пример двух случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями таких, что их сумма имеет вырожденное распределение. Если даже одна из двух независимых случайных величин имеет дискретное, а вторая - абсолютно непрерывное распределение, то их сумма тоже имеет абсолютно непрерывное распределение:

Упражнение. Пусть величина \[ \xi \] имеет таблицу распределения \[ {\Prob(\xi=a_i)=p_i,} \] а \[ \eta \] имеет плотность распределения \[ f_\eta(x) \] , и эти величины независимы. Доказать, что \[ \xi+\eta \] имеет плотность распределения \[ f_{\xi+\eta}(x)=\sum p_i f_\eta(x-a_i) \] . Для вычисления функции распределения суммы использовать формулу полной вероятности.