НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 10: Основные свойства контекстно-свободных языков

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

9.4. Свойства замкнутости класса контекстно-свободных языков

Теорема 9.4.1. Если L - контекстно-свободный язык, то L^* тоже контекстно-свободный язык.

Доказательство. Пусть язык L порождается контекстно-свободной грамматикой $\lalg N , \Sigma , P , S \ralg$ . Тогда язык L^* порождается грамматикой

$\lalg N \cup \{ T \} , \Sigma , P \cup \{ T \tto S T ,\ T \tto \varepsilon \} , T \ralg ,$

где $T \notin N \cup \Sigma$ .

Теорема 9.4.2. Если L₁ и L₂ - контекстно-свободные языки над алфавитом $\Sigma$ , то $L_1 \cdot L_2$ тоже контекстно-свободный язык.

Доказательство. Пусть язык L₁ порождается контекстно-свободной грамматикой $\lalg N_1 , \Sigma , P_1 , S_1 \ralg$ и L₂ порождается контекстно-свободной грамматикой $\lalg N_2 , \Sigma , P_2 , S_2 \ralg$ , где $N_1 \cap N_2 = \varnothing$ . Тогда $L_1 \cdot L_2$ порождается грамматикой

$\lalg N_1 \cup N_2 \cup \{ T \}, \Sigma, P_1 \cup P_2 \cup \{ T \tto S_1 S_2 \} , T \ralg ,$

где $T \notin N_1 \cup N_2 \cup \Sigma$ .

Теорема 9.4.3. Если L₁ и L₂ - контекстно-свободные языки над алфавитом $\Sigma$ , то $L_1 \cup L_2$ тоже контекстно-свободный язык.

Доказательство. Пусть язык L₁ порождается контекстно-свободной грамматикой $\lalg N_1 , \Sigma , P_1 , S_1 \ralg$ и L₂ порождается контекстно-свободной грамматикой $\lalg N_2 , \Sigma , P_2 , S_2 \ralg$ , где $N_1 \cap N_2 = \varnothing$ . Тогда $L_1 \cup L_2$ порождается грамматикой

$\lalg N_1 \cup N_2 \cup \{ T \}, \Sigma, P_1 \cup P_2 \cup \{ T \tto S_1 ,\ T \tto S_2 \} , T \ralg ,$

где $T \notin N_1 \cup N_2 \cup \Sigma$ .

Теорема 9.4.4. Если L - контекстно-свободный язык, то $L \reverse$ тоже контекстно-свободный язык.

Упражнение 9.4.5. Является ли контекстно-свободным язык $\{ w \in \{a,b,c\}^* \mid | w |_a \neq | w |_b \rusor | w |_b \neq | w |_c \}$ ?

Упражнение 9.4.6. Найти контекстно-свободную грамматику для языка $L_1 \cup L_2$ , где L₁ порождается грамматикой

$\begin{align*} F \; & {\to} \; a , \\ F \; & {\to} \; b F , \\ F \; & {\to} \; c F F , \end{align*}$

а язык L₂ порождается грамматикой

$\begin{align*} F \; & {\to} \; a M , & M \; & {\to} \; a F , \\ F \; & {\to} \; c M , & M \; & {\to} \; b F , \\ & & M \; & {\to} \; \varepsilon . \end{align*}$

9.5. Пересечение и дополнение контекстно-свободных языков

Теорема 9.5.1. Неверно, что для любых контекстно-свободных языков L₁ и L₂ язык $L_1 \cap L_2$ тоже контекстно-свободный.

Доказательство. Положим $L_1 = \{ a^m b^m c^n \mid m \geq 0 \commaand n \geq 0 \}$ и $L_2 = \{ a^m b^n c^n \mid m \geq 0 \commaand n \geq 0 \}$ . В примере 9.2.1 было доказано, что язык $L_1 \cap L_2$ не является контекстно-свободным.

Теорема 9.5.2. Неверно, что для любого контекстно-свободного языка $L \subseteq \Sigma ^*$ язык $\Sigma ^* \sminus L$ тоже контекстно-свободный.

Доказательство. Положим $L = \Sigma ^* \sminus \{ a^n b^n c^n \mid n \geq 0 \}$ , где $\Sigma = \{ a , b , c \}$ . В примере 9.3.4 было доказано, что язык L является линейным (и следовательно, контекстно-свободным).