НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 7: Синтаксические моноиды

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

6.3. Множества двусторонних контекстов

Определение 6.3.1. Пусть $L \subseteq \Sigma ^*$ и $y \in \Sigma ^*$ . Тогда множество контекстов ( множество двусторонних контекстов ) слова y относительно языка L определяется следующим образом:

$\bothcontext_{L} ( y ) \mymathrel{\bydef} \{ \lp x , z \rp \in \Sigma ^* \times \Sigma ^* \mid x y z \in L \} .$

Пример 6.3.2. Пусть $\Sigma = \{ a , b \}$ и $L = \{ a^n b a^n \mid n \geq 0 \}$ . Тогда

$\begin{align*} \bothcontext_{L} ( a^i ) &= \{ \lp a^m , a^k b a^{k+i+m} \rp \mid m \geq 0 \commaand k \geq 0 \} \cup {} \\ &\myqquad \cup \{ \lp a^{k+i+m} b a^k , a^m \rp \mid k \geq 0 \commaand m \geq 0 \} ,\\ \bothcontext_{L} ( a^i b a^j ) &= \{ \lp a^k , a^m \rp \mid k \geq 0 ,\ m \geq 0 \commaand k + i = m + j \} ,\\ \rightcontext_{L} ( y ) &= \varnothing ,\mathspace\text{если}\mathspace | y |_b > 1 . \end{align*}$

Лемма 6.3.3. Если $\bothcontext_{L} ( u_1 ) = \bothcontext_{L} ( u_2 )$ , то $\rightcontext_{L} ( u_1 ) = \rightcontext_{L} ( u_2 )$ .

Доказательство. Из определений следует, что

$\rightcontext_{L} ( y ) \peq \{ z \in \Sigma ^* \mid \lp \varepsilon , z \rp \in \bothcontext_{L} ( y ) \} .$

Лемма 6.3.4. Если $\bothcontext_{L} ( u_1 ) = \bothcontext_{L} ( u_2 )$ , то $\bothcontext_{L} ( u_1 v ) = \bothcontext_{L} ( u_2 v )$ и $\bothcontext_{L} ( v u_1 ) = \bothcontext_{L} ( v u_2 )$ .

Доказательство. Пусть $\bothcontext_{L} ( u_1 ) = \bothcontext_{L} ( u_2 )$ и $\lp x , z \rp \in \bothcontext_{L} ( u_1 v )$ . Тогда $x u_1 v z \in L$ . Следовательно, $\lp x , v z \rp \in \bothcontext_{L} ( u_1 )$ . Далее, получаем, что $\lp x , v z \rp \in \bothcontext_{L} ( u_2 )$ , $x u_2 v z \in L$ и $\lp x , z \rp \in \bothcontext_{L} ( u_2 v )$ . Второе равенство доказывается аналогично.

Лемма 6.3.5. Если $\bothcontext_{L} ( u_1 ) = \bothcontext_{L} ( u_2 )$ и $\bothcontext_{L} ( v_1 ) = \bothcontext_{L} ( v_2 )$ , то $\bothcontext_{L} ( u_1 v_1 ) = \bothcontext_{L} ( u_2 v_2 )$ .

Определение 6.3.6. Пусть $L \subseteq \Sigma ^*$ . Тогда множество

$\SM ( L ) \bydef \{ \bothcontext_{L} ( y ) \mid y \in \Sigma ^* \}$

называется синтаксическим моноидом (syntactic monoid) языка L.

Определение 6.3.7*. Полугруппой (semigroup) $\lp M , \star \rp$ называется непустое множество M с ассоциативной бинарной операцией $\star$ .

Определение 6.3.8*. Пусть $\lp M , \star \rp$ - полугруппа. Элемент $e \in M$ называется единицей (unit), если $e \star x = x = x \star e$ для каждого $x \in M$ .

Определение 6.3.9*. Моноид $\lp M , \star , e \rp$ - это полугруппа $\lp M , \star \rp$ с единицей $e \in M$ .

Теорема 6.3.10*. Определим бинарную операцию на Synt(L) следующим образом:

$\bothcontext_{L} ( u ) \star \bothcontext_{L} ( v ) \bydef \bothcontext_{L} ( u v ) .$

Тогда $\lp \SM ( L ) , \star , \bothcontext_{L} ( \varepsilon ) \rp$ является моноидом.

Теорема 6.3.11. Синтаксический моноид Synt(L) конечен тогда и только тогда, когда язык L является автоматным.

Доказательство Пусть множество Synt(L) конечно. Согласно лемме 6.3.3 множество $\{ \rightcontext_{L} ( y ) \mid y \in \Sigma ^* \}$ тоже конечно. В силу леммы 6.1.6 язык L является автоматным.

Обратно, пусть язык L распознается некоторым конечным автоматом $M = \lalg Q , \Sigma , \Delta , I , F \ralg$ , не содержащим переходов с метками длины больше единицы. Поставим в соответствие каждому слову y множество $\mathrm{Tr}_M( y ) \subseteq Q \times Q$ , определенное следующим образом:

$\mathrm{Tr}_M( y ) \peq \{ \lp p , q \rp \in Q \times Q \mid \text{существует путь из }p \text{ в } q \text{ с меткой } y \} .$

Легко проверить, что если $\mathrm{Tr}_M( y_1 ) = \mathrm{Tr}_M( y_2 )$ , то $\bothcontext_{L} ( y_1 ) \peq \bothcontext_{L} ( y_2 )$ . Следовательно, $| \SM ( L ) | \leq 2^{n^2}$ , где n = |Q|.

Пример 6.3.12. Рассмотрим конечный автомат M из примера 2.1.14. Тогда

$\mathrm{Tr}_M ( \varepsilon ) = \{ \lp 1 , 1 \rp ,\ \lp 2 , 2 \rp \}$ ;
если $n \geq 1$ , то $\mathrm{Tr}_M ( (ab)^n ) = \{ \lp 1 , 1 \rp \}$ ;
если $n \geq 1$ , то $\mathrm{Tr}_M ( (ba)^n ) = \{ \lp 2 , 2 \rp \}$ ;
если $n \geq 0$ , то $\mathrm{Tr}_M ( (ab)^n a ) = \{ \lp 1 , 2 \rp \}$ ;
если $n \geq 0$ , то $\mathrm{Tr}_M ( b (ab)^n ) = \{ \lp 2 , 1 \rp \}$ ;
$\mathrm{Tr}_M ( x aa y ) = \varnothing$ ;
$\mathrm{Tr}_M ( x bb y ) = \varnothing$ .

Лемма 6.3.13. Пусть $L \subseteq \Sigma ^*$ , $n \in \mathbb{N}$ и для каждого слова $y \in \Sigma ^*$ длины n найдется такое слово $x \in \Sigma ^*$ , что | x | < n и $\bothcontext_{L} ( x ) = \bothcontext_{L} ( y )$ . Тогда

$\SM ( L ) = \{ \bothcontext_{L} ( y ) \mid y \in \Sigma ^* \commaand | y | < n \} .$

Доказательство. Индукцией по $k \geq n$ можно доказать, что для каждого слова $y \in \Sigma ^*$ длины k найдется такое слово $x \in \Sigma ^*$ , что | x | < n и $\bothcontext_{L} ( x ) = \bothcontext_{L} ( y )$ . В шаге индукции используется лемма 6.3.5.

Упражнение 6.3.14. Сколько элементов в синтаксическом моноиде языка a+b над алфавитом {a,b}?

Упражнение 6.3.15. Сколько элементов в синтаксическом моноиде языка b⁺a⁺ над алфавитом {a,b}?

Упражнение 6.3.16. Сколько элементов в синтаксическом моноиде языка (aa+b)^* над алфавитом {a,b}?

Упражнение 6.3.17. Сколько элементов в синтаксическом моноиде языка (ab)^*(ba)^*+a^* над алфавитом {a,b}?

Упражнение 6.3.18. Сколько элементов в синтаксическом моноиде языка a(b+c)^*a(a+b+c)^*+b(a+c)^*b(a+b+c)^*+c(a+b)^*c(a+b+c)^* над алфавитом {a,b,c}?

Дальше >>

Математическая теория формальных языков

Математическая теория формальных языков

Синтаксические моноиды

6.3. Множества двусторонних контекстов

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Математическая теория формальных языков

Математическая теория формальных языков

Синтаксические моноиды

6.3. Множества двусторонних контекстов

Вопросы и ответы

Студенты