Россия, Сургут, Сургутский Государственный Университет, 2017 |
Группы Ли
или
![(3b)\;\; Tv=v,\; Tu=-u,\; Tw=-w](/sites/default/files/tex_cache/2e89d250031a4ff6dbc0c5311786008d.png)
В случае (За) Т - отражение относительно плоскости, натянутой на вектора u, v. В случае (3b) Т - поворот вокруг v на угол .
Обобщая эти результаты, формулируем:
Теорема. Ортогональная трансформация - это либо пространственный поворот вокруг некоторой оси, либо композиция такого поворота с отражением в плоскости, ортогональной оси вращения.
Квантовый алгоритм представляет ортогональную трансформацию в размерном пространстве n-кубитов. По этой причине мы заинтересованы в понимании структуры ортогональных трансформаций в пространствах произвольной размерности. Их описание дается следующей теоремой, которую мы представляем без доказательства. Доказательство не трудно, но требует привлечения более сложных средств линейной алгебры.
Прежде чем сформулировать теорему в качестве разминки попробуем ответить на следующий вопрос: возможно ли в 4-мерном пространстве иметь две 2-мерные плоскости, пересекающиеся в одной точке? Этот вопрос бросает вызов нашим представлениям о визуализации, так как наша интуиция основана на понимании 3-мерного мира, где плоскости пересекаются по прямой линии. И все же в 4-мерном пространстве плоскости могут пересекаться в одной точке. Для иллюстрации достаточно простого примера. Рассмотрим 4-мерное пространство с осями ХYZW. Тогда плоскость ХY содержит вектора, у которых две последние координаты равны 0, в то время как у векторов в плоскости ZW равны 0 первые две координаты. Очевидно, что пересечением этих двух 2-мерных плоскостей является единственная точка - начало координат.
Теорема. Для любой ортогональной трансформации Т в можно найти подпространства
, такие что:
(1) Каждое подпространство имеет размерность 1 или 2.
(2) Все подпространства взаимно ортогональны и пересекаются только в начале координат.
(3) Каждое подпространство инвариантно относительно трансформации Т. Это значит, что Т преобразует вектора из
в вектора в том же подпространстве
.
(4) Если 1-мерное подпространство, то Тv = v или Тv = -v для каждого вектора в
.
(5) Если 2-мерное подпространство, то Т действует как трансформация поворота плоскости
.
Давайте на примере проиллюстрируем эту теорему Для данной ортогональной трансформации Т используем подпространства
, чтобы сконструировать ортонормальный базис в
. В этом случае матрица Т должна быть одного из следующих типов:
(а) Диагональная матрица с элементами по диагонали. Это соответствует случаю, когда
декомпозируется в четыре 1-мерные подпространства:
![T=\begin{pmatrix}\pm 1&0&0&0\\0&\pm1&0&0 \\0&0&\pm1&0 \\ 0 &0 &0 & \pm1 1 \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/42505ab07d2a03a8d7a38802856144bb.png)
(b) Если декомпозируется в 2-мерное инвариантное подпространство и два 1-мерных инвариантных подпространства, то матрица имеет вид:
![T=\begin{pmatrix}\cos \alpha& -\sin \alpha& 0&0\\ \sin \alpha & \cos \alpha&0&0 \\0&0& \pm 1& 0 \\0& 0& 0& \pm 1 \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/52cef4e5afb3dbbd02f0a113fa7ea04e.png)
(с) Наконец, может быть декомпозировано в два 2-мерных инвариантных подпространств. В этом случае Т представляет двойной поворот. (Попытайтесь визуализировать этот случай.)
![T=\begin{pmatrix}\cos \alpha& -\sin \alpha& 0& 0\\ \sin \alpha& \cos \alpha& 0& 0 \\0& 0& \cos \beta& -\sin \beta \\0& 0& \sin \beta& \cos \beta \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/5b236ac1f9a09471f415f137b24dca9e.png)
Как мы уже указывали, квантовый алгоритм задается ортогональной трансформацией в 2n-пространстве n-кубитов. При реализации алгоритма он рассматривается как последовательность элементарных трансформаций, каждая из которых затрагивает один или два кубита. Здесь есть полная аналогия с классическими алгоритмами, которые также представляют последовательность шагов, на каждом из которых выполняется элементарная операция. Алгебраически, декомпозиция квантового алгоритма представление большой ортогональной матрицы в виде произведения некоторых элементарных матриц.
Возможность подобной факторизации впервые была показана Эйлером в 1774 году, кто изучал факторизацию ортогональных матриц в 3-мерном пространстве. Эйлером доказана следующая
Теорема. Любой поворот в 3 мерном пространстве с координатными осями ХYZ может быть факторизован в виде композиции поворотов-поворота вокруг оси Х на угол , поворота вокруг оси Y на угол
, еще одного поворота вокруг оси Х на угол
.
Параметры называются углами Эйлера для заданного поворота. Теорема Эйлера говорит, что достаточно иметь возможность осуществлять повороты вокруг осей Х и Y, чтобы генерировать любой поворот в пространстве
Алгебраически, эта теорема говорит, что матрица любого 3-мерного поворота может быть факторизована следующим образом:
![\begin{pmatrix}1&0&0\\0& \cos \gamma& -\sin \gamma \\0& \sin \gamma& \cos \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos \beta &0 & -\sin \beta \\0&1&0 \\ \sin \beta& 0& \cos \beta \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0 \\0& \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/5ab4314b1d8d73099bcb964eb738dfa9.png)
Для доказательства этой теоремы проще дать геометрическую интерпретацию, не прибегая к алгебраическим инструментам. Зафиксируем поворот Т. Предположим, что Т преобразует ортогональные оси в координатные оси ХYZ. Заметим, что достаточно проследить за поведением двух осей. Если есть поворот, преобразующий
в Х, а
в Y, то автоматически
будет преобразовано в Z, так как повороты сохраняют углы между осями.
Цель первого шага-повернуть вокруг оси Х, переходя к осям
так, чтобы ось
стала перпендикулярной оси Y. Это возможно, поскольку мы можем повернуть любой ненулевой вектор вокруг оси Х так, чтобы в результате вектор стал принадлежать плоскости ХZ.
На втором шаге выполняем поворот вокруг оси Y, трансформируя в
так, чтобы ось
совпала с осью Х. Это возможно, поскольку ось
лежит в плоскости XZ после выполнения первого шага.
В завершение выполняем поворот вокруг оси Х так, чтобы новая ось 3 совпала с осью Y. Теперь
совпадает с Х,
совпадает с Y, а, следовательно,
совпадает с Z.