Группы Ли

или

В случае (За) Т - отражение относительно плоскости, натянутой на вектора u, v. В случае (3b) Т - поворот вокруг v на угол .

Обобщая эти результаты, формулируем:

Теорема. Ортогональная трансформация - это либо пространственный поворот вокруг некоторой оси, либо композиция такого поворота с отражением в плоскости, ортогональной оси вращения.

Квантовый алгоритм представляет ортогональную трансформацию в размерном пространстве n-кубитов. По этой причине мы заинтересованы в понимании структуры ортогональных трансформаций в пространствах произвольной размерности. Их описание дается следующей теоремой, которую мы представляем без доказательства. Доказательство не трудно, но требует привлечения более сложных средств линейной алгебры.

Прежде чем сформулировать теорему в качестве разминки попробуем ответить на следующий вопрос: возможно ли в 4-мерном пространстве иметь две 2-мерные плоскости, пересекающиеся в одной точке? Этот вопрос бросает вызов нашим представлениям о визуализации, так как наша интуиция основана на понимании 3-мерного мира, где плоскости пересекаются по прямой линии. И все же в 4-мерном пространстве плоскости могут пересекаться в одной точке. Для иллюстрации достаточно простого примера. Рассмотрим 4-мерное пространство с осями ХYZW. Тогда плоскость ХY содержит вектора, у которых две последние координаты равны 0, в то время как у векторов в плоскости ZW равны 0 первые две координаты. Очевидно, что пересечением этих двух 2-мерных плоскостей является единственная точка - начало координат.

Теорема. Для любой ортогональной трансформации Т в можно найти подпространства , такие что:

(1) Каждое подпространство имеет размерность 1 или 2.

(2) Все подпространства взаимно ортогональны и пересекаются только в начале координат.

(3) Каждое подпространство инвариантно относительно трансформации Т. Это значит, что Т преобразует вектора из в вектора в том же подпространстве .

(4) Если 1-мерное подпространство, то Тv = v или Тv = -v для каждого вектора в .

(5) Если 2-мерное подпространство, то Т действует как трансформация поворота плоскости .

Давайте на примере проиллюстрируем эту теорему Для данной ортогональной трансформации Т используем подпространства , чтобы сконструировать ортонормальный базис в . В этом случае матрица Т должна быть одного из следующих типов:

(а) Диагональная матрица с элементами по диагонали. Это соответствует случаю, когда декомпозируется в четыре 1-мерные подпространства:

(b) Если декомпозируется в 2-мерное инвариантное подпространство и два 1-мерных инвариантных подпространства, то матрица имеет вид:

(с) Наконец, может быть декомпозировано в два 2-мерных инвариантных подпространств. В этом случае Т представляет двойной поворот. (Попытайтесь визуализировать этот случай.)

Как мы уже указывали, квантовый алгоритм задается ортогональной трансформацией в 2n-пространстве n-кубитов. При реализации алгоритма он рассматривается как последовательность элементарных трансформаций, каждая из которых затрагивает один или два кубита. Здесь есть полная аналогия с классическими алгоритмами, которые также представляют последовательность шагов, на каждом из которых выполняется элементарная операция. Алгебраически, декомпозиция квантового алгоритма представление большой ортогональной матрицы в виде произведения некоторых элементарных матриц.

Возможность подобной факторизации впервые была показана Эйлером в 1774 году, кто изучал факторизацию ортогональных матриц в 3-мерном пространстве. Эйлером доказана следующая

Теорема. Любой поворот в 3 мерном пространстве с координатными осями ХYZ может быть факторизован в виде композиции поворотов-поворота вокруг оси Х на угол , поворота вокруг оси Y на угол , еще одного поворота вокруг оси Х на угол .

Параметры называются углами Эйлера для заданного поворота. Теорема Эйлера говорит, что достаточно иметь возможность осуществлять повороты вокруг осей Х и Y, чтобы генерировать любой поворот в пространстве

Алгебраически, эта теорема говорит, что матрица любого 3-мерного поворота может быть факторизована следующим образом:

Для доказательства этой теоремы проще дать геометрическую интерпретацию, не прибегая к алгебраическим инструментам. Зафиксируем поворот Т. Предположим, что Т преобразует ортогональные оси в координатные оси ХYZ. Заметим, что достаточно проследить за поведением двух осей. Если есть поворот, преобразующий в Х, а в Y, то автоматически будет преобразовано в Z, так как повороты сохраняют углы между осями.

Цель первого шага-повернуть вокруг оси Х, переходя к осям так, чтобы ось стала перпендикулярной оси Y. Это возможно, поскольку мы можем повернуть любой ненулевой вектор вокруг оси Х так, чтобы в результате вектор стал принадлежать плоскости ХZ.

На втором шаге выполняем поворот вокруг оси Y, трансформируя в так, чтобы ось совпала с осью Х. Это возможно, поскольку ось лежит в плоскости XZ после выполнения первого шага.

В завершение выполняем поворот вокруг оси Х так, чтобы новая ось 3 совпала с осью Y. Теперь совпадает с Х, совпадает с Y, а, следовательно, совпадает с Z.