Опубликован: 03.06.2019 | Уровень: для всех | Доступ: платный
Лекция 5:

Матрицы

< Лекция 4 || Лекция 5: 12 || Лекция 6 >

Представим вектор е_1 как линейную комбинацию векторов v_1 и v_2: е_1 = c_1v_1 + с_2v_2:

 {1\choose 0}=c_1 {1\choose 2}+c_2 {2\choose -1}

Получаем два уравнения с двумя неизвестными: 2c_1 - c_2 = 0 и c_1 + 2с_2 = 1 Решая уравнения получаем: с_1 = 1/5,\; с_2 = 2/5. Теперь, зная трансформации векторов v_1 и v_2 можно вычислить трансформацию вектора е_1:

T(e_1)=1/5T(v_1)+2/5T(v_2)=1/5 {1\choose 2}-2/5 {2\choose -1}= {-3/5 \choose 4/5}

Подобным образом находим t(e_2)= {4/5\choose 3/5}. Рассматривая Т(е_1) и Т(е_2) как столбцы матрицы Т, получим:

 \begin{pmatrix}-3/5& 4/5\\ 4/5&3/5\end{pmatrix}

В классических вычислениях сложные задачи не решаются за один шаг Типично для достижения ответа требуется выполнить последовательность операций. Подобным образом и квантовый алгоритм проектируется не как единственная линейная трансформация, а как композиция нескольких простых линейных трансформаций.

Прежде всего, нам нужно выяснить, как вычислить матрицу композиции Т \circ S линейных трансформаций, если известны матрицы трансформаций Т и S.

Начнем обсуждение с соглашения о порядке операций. Традиционно для математики записывать аргумент функции f (х) или линейной трансформации Т(v) справа от имени функции. Композиция Т \circ S, когда она применяется к вектору v дает Т \circ S(v) = Т(S(v)). Это означает, что в композиции Т \circ S множитель, который стоит справа, применяется первым.

Пусть Т и S - две линейные трансформации с матрицами А и В соответственно. Нам необходимо вычислить матрицу С композиции Т \circ S. Напомним, что k-й столбец матрицы С - образ е_k при трансформации Т \circ S: Т \circ S(е_к) = Т(S(е_к)). Однако, S(е_к) -это просто k-й столбец матрицы В. Отсюда следует, что k-й столбец С - это произведение матрицы А на k-й столбец В. Матрицу С, вычисляемую таким образом, назовем произведением матриц А и В: С = АВ.

Например,

 \begin{pmatrix}1&2\\3&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}5&1\\2&0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1*5+2*2&1*1+2*0\\3*5+4*2&3*1+4*0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}9&1\\23&3 \end{pmatrix}

Нетрудно заметить, что элемент матрицы произведения С, стоящий на пересечении строки с индексом m и столбца с индексом k, является скалярным произведением строки с индексом m матрицы А и столбца с индексом k матрицы В.

Подводя итог, - матрица композиции двух линейных трансформаций является произведением матриц этих трансформаций.

Мы можем также определить сумму двух матриц размера N * N, где элемент с индексами m и k матрицы суммы представляет сумму элементов с теми же индексами матриц слагаемых:

 \begin{pmatrix}1&2\\3&4 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}5&1\\2&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1+5&2+1\\3+2&4+0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}6&3\\5&4 \end{pmatrix}

Некоторые алгебраические свойства матричных операций совпадают со свойствами чисел: А(В + С) = АВ + АС, (А + В)С = АС + ВС. Однако, есть важная разница. Рассмотрим две матрицы:

A= \begin{pmatrix}1&1\\-1&-1 \end{pmatrix},\; B= \begin{pmatrix}1&1\\1&1 \end{pmatrix}

Вычислим произведение АВ и ВА:

AB= \begin{pmatrix}2&2\\-2&-2 \end{pmatrix},\; BA= \begin{pmatrix}0&0\\0&0 \end{pmatrix}

Этот пример показывает, что произведение матриц не коммутативно: АВ \ne ВА.

Этот пример также показывает, что произведение ненулевых матриц может быть нулевой матрицей.

Все же произведение матриц обладает свойством ассоциативности (АВ)С = А(ВС). Это следует из того факта, что умножение матриц соответствует композиции линейных трансформаций (Т \circ S) \circ R = Т \circ (S \circ R), так как обе стороны, примененные к вектору v, дают один и тот же результат:T(S(R(v)))

В заключение этой лекции рассмотрим одно из применений линейной алгебры к задачам тригонометрии. Рассмотрим композицию поворота на угол \alpha и поворота на угол \beta. Очевидно

R_{\alpha}\circR_{\beta}=R_{\alpha+\beta}

Выпишем эквивалентное соотношение для матриц поворота:

\begin{pmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha\\ \sin \alpha&cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos \beta& -\sin\beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (\alpha + \beta ) & -\sin (\alpha + \beta)\\ \sin (\alpha+\beta)& \cos (\alpha + \beta) \end{pmatrix}

Произведение матриц в левой части равенства дает:

\begin{pmatrix}cos \alpha cos \beta- \sin \alpha \sin \beta& -\cos \alpha \sin \beta-\sin \alpha \cos \beta\\ \sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta &\sin \alpha \sin \beta+\cos \alpha \cos \beta \end{pmatrix}

Сравнивая полученный результат с матрицей правой части равенства, приходим к известному тригонометрическому тождеству:

\cos(\alpha + \beta) = \cos \аlpha \cos \beta - \sin \аlpha \sin \beta,\\
\sin (\аlpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \соs \аlpha \sin \beta

И это наиболее экономичное доказательство этой важной формулы.

< Лекция 4 || Лекция 5: 12 || Лекция 6 >
Мадина Музиева
Мадина Музиева
Россия, Сургут, Сургутский Государственный Университет, 2017
Алла Рыжкова
Алла Рыжкова
Россия, Нижний Новгород, Нижегородский Государственный Университет им. Н. И. Лобачевского, 2000