Лекция 10: Арифметические операции над числами с плавающей запятой

Деление чисел с плавающей запятой

Сначала рассмотрим случай деления двух чисел с плавающей запятой в десятичной системе счисления.

(0,6*10⁵) * (0,2*10²) = 3 * 10^5-2 = 0,3 * 10⁴

Последний шаг выполнен для нормализации мантиссы результата.

Таким образом, если представить операнды в двоичной системе счисления как

а частное мы хотим тоже получить в виде числа с плавающей запятой, то есть

то деление сводится к двум простейшим действиям, рассмотренным ранее: вычитанию порядка делителя из порядка делимого как целых чисел и делению мантисс как операндов с фиксированной запятой. При необходимости к ним добавляется еще нормализация мантиссы результата:

П_z = П_x - П_y

M_z = M_x / M_y

На первом этапе (вычитание порядков) мы имеем дело с числами с фиксированной точкой. В результате их вычитания возможны как положительное, так и отрицательное переполнения.

Предполагая, что мантиссы обоих операндов нормализованы, то есть удовлетворяют условию

1 > |M_x,y| ≥ 2^-1,

мы получим

2 > |M_z| = |M_x| / |M_y| ≥ 2 ^-1

Таким образом, если в результате деления мантисс и потребуется нормализация (в случая, если 2 > |M_z| ≥ 2^-1), то она может быть выполнена сдвигом вправо не более чем на один разряд. При этом к порядку должна быть добавлена единица. Обычно такая ситуация проверяется на первом шаге деления мантисс. Для чисел с фиксированной запятой ситуация, когда |M_x| ≥ |M_y| приводит к приостановке деления и выработке сигнала особого случая, который обрабатывается системным программным обеспечением ЭВМ. В случае чисел с плавающей запятой такая ситуация ведёт к коррекции мантиссы делимого (M_x' = M_x / 2) и соответствующему изменению порядка (П_x' = П_x + 1) с последующим делением мантиссы M_x' на Y.

Рассмотрим особые случаи при делении чисел с плавающей запятой

1. П_z = П_x - П_y
1. Если П_z = +∞, то Z = ∞
2. Если П_z = -∞, то продолжить деление, так как в последующем возможно увеличение порядка за счет того, что мантисса X окажется больше или равной мантиссе Y.
2. M_z = M_x / M_y

Т.к. |M_x| ≥ 2^-1, |M_y| ≥ 2^-1, то 2 > |M_z| ≥ 2^-1

Возможная область ненормализованной мантиссы:

2 > |M_z| ≥ 1

Если |M_z| ≥ 1, то выполнить нормализацию мантиссы с одновременной коррекцией порядка:

|M_z| = |M_z| * 2^-1; П_z = П_z + 1.

Если в результате получим П_z = +∞, то Z = ∞.

Если в ходе деления мантисс получили П_z = -∞, и П_z = П_z +1 = -∞, то Z = 0.

Если в ходе деления мантисс получили |M_z| < 1, и при обработке порядков получили П_z = -∞, то Z = 0.

Сложение/вычитание чисел с плавающей запятой

Рассмотрим несколько примеров сложения/вычитания чисел с плавающей запятой в десятичной системе счисления.

Пример 1.

(0,3*10³) + (0,98*10⁴) = (0,03 *10⁴)+(0,98*10⁴) = 1,01 * 10⁴ = 0,101* 10⁵

Пример 2.

(0,3333*10³) - (0,331*10³) = 0,002*10³ = 0,2* 10¹

Порядок выполнения и особые случаи при сложении/вычитании чисел с плавающей запятой

1. Определение разности порядков:

   ΔП = П_x – П_y

   Если ΔП = +∞, то П_x >> П_y, и Z = X.

   Если ΔП = -∞, то П_y >> П_x, и Z = Y.
2. Денормализация мантиссы числа с меньшим порядком:

   Если ΔП > 0, то П_x > П_y, П_z = П_x, M'_y = M_y*2 - ΔП, M'_x = M_x.

   Если ΔП < 0, то П_y > П_x, П_z = П_y, M'_x = M_x*2 - |ΔП|, M'_y = M_y .

   Если ΔП = 0, то П_z = П_x = П_y. Денормализации мантисс не происходит: M'_x = M_x, M'_y = M_y.
3. Алгебраическое суммирование чисел с равными порядками:

   M_z = M'_x ± M'_y

   Если |М_z| ≥ 1, то |M'_z| =|М_z| * 2^-1, П'_z = П_z+1.

   Если П'_z = +∞, то Z = ∞.

   

   
   

   Если П'_z = -∞, то Z = 0.

Приведем в качестве примера некоторые мантиссы (Табл. 10.1), представленные в различных кодах, и укажем, нормализованы ли они (+ означает нормализованную мантиссу, - ненормализованную).

Из анализа таблицы можно сделать вывод, что

• нормализованная мантисса, представленная в прямом коде, имеет первый знак после запятой, равный единице;
• нормализованная мантисса, представленная в обратном или дополнительном кодах, должна иметь первый знак после запятой, не совпадающий со знаковым разрядом. Исключение составляет число 1.10...0 для мантиссы в дополнительном коде.