Лекция 10: Арифметические операции над числами с плавающей запятой

Формат числа с плавающей запятой

Число с плавающей запятой представляется в виде мантиссы (М) и порядка (П).

Например, число А = 123 может быть представлено в виде числа с мантиссой 12,3 и порядком +1, то есть 12,3 *10⁺¹. Другие представления этого самого же числа могут выглядеть так: 123 = 123*10⁰ = 1230 10^-1 = 0,123*10⁺³ = 0, 0123 * 10⁺⁴ = ...

Для того чтобы число с плавающей запятой представлялось единственным образом, его мантисса должна быть нормализована, то есть на нее накладывается следующее ограничение.

Нормализованная мантисса должна удовлетворять условию:

( 10.1)

где р – основание системы счисления, то есть мантисса представляет собой правильную дробь, у модуля которой старшая цифра отлична от нуля.

Из приведенного выше примера этому условию удовлетворяет лишь запись

А = 0,123*10⁺³

Как мантисса, так и порядок могут быть как положительными, так и отрицательными числами. Поэтому в общем виде число с плавающей запятой имеет следующий формат (Рис. 10.1). В дальнейшем мы рассмотрим, как форма кодирования чисел в ЭВМ сказывается на этом формате. В этой лекции будем исходить именно из такой формы представления числа с плавающей запятой, так как она позволяет выявить все особенности обработки таких чисел.

Рис. 10.1. Структура числа с плавающей запятой

Порядок представляет собой число с фиксированной точкой, мантисса – число с фиксированной запятой. Поэтому:

М_макс = 0,1 ... 1 = 1-2^-n

М_мин = 2^-1 (напомним, что мантисса должна быть нормализована).

П_макс = 0,1 ... 1 = 2^m-1

-П_макс = -(2^m-1)

Мы пока ведем речь только о естественном, а не машинном представлении числа, где, например, в так называемом дополнительном коде можно представить на одну комбинацию отрицательных чисел больше, чем положительных.

В данном случае достаточно просто определить диапазон представляемых чисел

Абсолютная погрешность представления числа с плавающей запятой ЭВМ составит:

Относительная погрешность представления в ЭВМ числа с плавающей запятой будет равна:

Таким образом, мы видим, что для чисел с плавающей запятой диапазон их представления весьма широк и определяется в основном, количеством разрядов, отводимых под порядок числа, а относительная погрешность меняется гораздо меньше, чем для чисел с фиксированной точкой (всего в 2 раза) и определяется количеством разрядов, отводимых под запись мантиссы числа.

Умножение чисел с плавающей запятой

Сначала рассмотрим случай перемножения двух чисел с плавающей запятой в десятичной системе счисления.

(0,3*10³) * (0,2*10²) = (0,3 * 0,2) *10³⁺² = 0,06 * 10⁵ = 0,6* 10⁴

Последний шаг выполнен для нормализации мантиссы результата.

Таким образом, если представить операнды в двоичной системе счисления как

а произведение мы хотим тоже получить в виде числа с плавающей запятой, то есть

то умножение сводится к двум простейшим действиям, рассмотренным ранее: сложению порядков сомножителей как целых чисел и перемножению мантисс как операндов с фиксированной запятой. При необходимости к ним добавляется еще нормализация мантиссы результата:

П_z = П_x + П_y

M_z = M_x * M_y

Интерес здесь представляют особые случаи, которые могут возникнуть на различных этапах обработки числа. Так при сложении чисел с фиксированной точкой (речь идёт о порядках) может возникнуть переполнение, которое сделает невозможным дальнейшую работу с этим числом, либо при перемножении мантисс сомножителей мы получим денормализованную мантиссу результата, что потребует ее коррекции с одновременной коррекцией полученного ранее порядка произведения. Все эти и некоторые другие обстоятельства необходимо учитывать при проведении данной операции.

Ряд этих случаев будем рассмотрен нами при обсуждении ГОСТа IEEE 754 на представление чисел с плавающей запятой [ ...]. В то же время иногда подобные ситуации возникают в процессе выполнения самой операции, а окончательный результат оказывается допустимым числом. Рассмотрим все эти случаи.

Особые случаи при умножении чисел с плавающей запятой

Главное обстоятельство, на которое следует обратить внимание при умножении чисел с плавающей запятой, это диапазон мантисс, которые получаются при выполнении операции.

Так как мы исходим из того, что мантиссы обоих операндов нормализованы, то есть удовлетворяют условию

1 > |M_x,y| ≥ 2^-1,

то 1 > |M_z| = |M_x| * |M_y| ≥ 2^-2.

Таким образом, нормализация мантиссы если и потребуется, то только путем сдвига на один разряд влево. При этом порядок, естественно, следует уменьшить на 1. Отсюда вытекает следующая последовательность действий.

1. П_z = П_x + П_y
   1. Если П_z = - ∞, то Z=0 .
   2. Если П_z = + ∞, то продолжить умножение, так как последующая операция над мантиссами может привести к коррекции порядка результата в сторону его уменьшения и, тем самым, обеспечит нормальное представление числа в целом.
2. M_z = M_x * M_y

Т.к. |M_x| ≥ 2^-1, |M_y| ≥ 2^-1, то |M_z| ≥ 2^-2

Возможная область ненормализованной мантиссы:

2^-1 > |M_z| ≥ 2^-2

Если |M_z| < 2^-1, то выполнить нормализацию мантиссы с одновременной коррекцией порядка:

|M_z| = |M_z| * 2+1

П_z = П_z -1

Если в результате получим П_z = - ∞, то Z=0.

Если в ходе перемножения мантисс получим |M_z| ≥ 2^-1 , но ранее при обработке порядков получили П_z = + ∞ (см п.1.2), то Z = ∞

При Z=0 выполнение программы в ЭВМ продолжается.

При Z = ∞ устанавливается флаг прерывания, и ЭВМ приостанавливает обработку данных чисел.