Лекция 10: Арифметические операции над числами с плавающей запятой

Особенности представления чисел с плавающей запятой согласно стандарту IEEE 754

В настоящее время для представления чисел с плавающей запятой используется версия стандарта IEEE 754-2008.

Этот стандарт определяет

• формат представления двоичных и десятичных чисел с плавающей запятой;
• программные преобразования чисел с плавающей запятой при использовании различных языков программирования;
• аппаратную реализацию арифметических действий над числами с плавающей запятой.

Стандарт описывает

• как представлять нулевые числа (без наличия такой возможности представить число Z=0 в виде числа с плавающей запятой невозможно, так как нормализованная мантисса числа с плавающей запятой должна быть отлична от нуля);
• как представлять специальную величину бесконечность (Infiniti);
• как представлять специальную величину "Не число" (NaN или NaNs); к этому понятию относятся символы и результаты недопустимых операций;
• режимы округления при выполнении операций

и некоторые другие особенности работы с такими числами.

В данном разделе мы рассмотрим лишь некоторые из них, которые либо уже использовались нами при выполнении тех или иных операций, либо каким-либо образом влияют на кодирование числа в ЭВМ.

Стандарт IEEE 754 определяет четыре формата представления чисел с плавающей запятой:

• с одинарной точностью (single-precision);
• с двойной точностью (double-precision);
• с одинарной расширенной точностью (single-extended precision) >=43 бит (редко используемый);
• с двойной расширенной точностью (double-extended precision) >= 79 бит (обычно используют 80 бит).

Рассмотрим форматы, наиболее часто используемые чисел: с одинарной, двойной и двойной расширенной точностью (Рис. 10.2)

Рис. 10.2. Формат числа с плавающей запятой согласно ГОСТ 754

Размеры полей для чисел разных форматов представлены в Табл. 10.2.

Отметим несколько моментов в машинном представлении числа с плавающей запятой. Как мы указывали ранее, число с плавающей запятой может иметь как порядок, так и мантиссу в виде числа со знаком. На Рис. 10.2 представлено поле для кодирования только одного знака. И это является знаком мантиссы, то есть знаком самого числа. Знак порядка неявно закодирован в поле самого порядка в виде так называемого смещенного, или машинного порядка:

П_см = П_x + Δ,

где П_см – смещенный порядок, закодированный в соответствующем поле числа в ячейке памяти или регистре компьютера, П_x – истинный порядок числа, значение Δ выбирается таким образом, чтобы любой смещенный порядок стал неотрицательным, то есть Δ = |-П_x|_макс.

Это приводит к несколько другой схеме обработки смещенных порядков, но позволяет немного выиграть в производительности компьютера. К тому же следует иметь в виду, что для обработки порядков в компьютере используется отдельное устройство.

Еще один момент, который хотелось бы здесь отметить, связан с понятием нормализованной мантиссы, которое используется в этом ГОСТе.

Так, при обсуждении выше в этой лекции порядка и особенностей выполнения основных арифметических операций над числами с плавающей запятой и возникающих при этом особых случаях мы опирались на понятие нормализованной мантиссы в соответствии с (12.1). Согласно ГОСТ 754 мантисса двоичного числа считается нормализованной, если она удовлетворяет следующему условию:

( 10.2)

Т. е. модуль нормализованной мантиссы всегда имеет целую часть, равную единице.

В связи с этим нет необходимости хранить ее непосредственно в памяти, а целесообразно добавлять ее непосредственно при выполнении операции. Тогда при записи числа в поле мантиссы освобождается еще один дополнительный разряд, который используется для увеличения точности длины мантиссы и, следовательно, точности представления числа.

Операции над такими числами необходимо проводить с учетом данного обстоятельства.

В Табл. 10.3 показана связь между представлением чисел различных форматов и местом их обработки в ЭВМ.

Числа с двойной расширенной точностью используются для обработки упакованных двоично-десятичных данных в FPU (Floating Point Unit – блоке для обработки данных с плавающей точкой (запятой) микропроцессора). При этом сами данные размещаются в поле мантиссы (разряды с нулевого по 63-й), а знак числа повторяется во всех разрядах с 64-го по 79-й.

Краткие итоги

В лекции рассмотрены арифметические операции обработки чисел с плавающей запятой: алгебраическое сложение, умножение, деление. Особое внимание уделено особым ситуациям, возникающим в процессе выполнения этих операций, методам их обработки. Дано представление чисел с плавающей запятой согласно ГОСТ 754 и вытекающие из этого представления особенности хранения и обработки таких чисел.

Вопросы и задания

1. Укажите формат числа с плавающей запятой. Какую характеристику числа определяет количество разрядов, отводимых под его порядок, а какую – под его мантиссу?
2. Для чего требуется нормализация мантиссы числа с плавающей запятой?
3. Определите минимальное количество разрядов, которое необходимо для представления числа 534,21₁₀ с точностью 1%.
4. Укажите особые случаи при умножении чисел с плавающей запятой. Каковы пути их решения? Какое устройство занимается этим?
5. Укажите особые случаи при делении чисел с плавающей запятой. Каковы пути их решения?
6. Каким образом при алгебраическом сложении производится денормализации мантиссы числа с меньшим порядком? При ответе учитывать, что на уровне схемотехники в распоряжении разработчика имеются регистры сдвига лишь на один разряд.
7. Определите величину константы, которая используется для чисел одинарной, двойной и расширенной точности, чтобы превратить истинный порядок числа с плавающей запятой в машинный.
8. Представьте число (-0,015₁₀) в следующей разрядной двоичной сетке (1 - 3 - 5 – знак - порядок машинный - мантисса) согласно ГОСТ 754.