Россия, Новосибирск |
Диаграммы
Лемма о расширении. Если все -следствия теории истинны в интерпретации , то можно построить ее расширения так, чтобы было моделью теории , а было элементарным расширением .
Прежде чем доказывать лемму о расширении, покажем (хотя это нам и не понадобится), что сформулированное условие необходимо. Пусть , причем — элементарное расширение . Тогда любое -утверждение, истинное в , истинно и в . В самом деле, пусть утверждение с бескванторной формулой истинно в . Проверим его истинность в . Если оно ложно при , то ложно и в , и в (элементарность расширения) и потому не может быть истинным в (поскольку всякое из лежит и в ).
Доказательство леммы о расширении. Что требуется от данного расширения интерпретации , чтобы можно было построить с требуемыми свойствами? Свойства эти состоят в том, что должно быть моделью теории и расширением интерпретации . Как раз про это говорит теорема 70, надо лишь в качестве в этой теореме взять нашу сигнатуру с добавленными константами для (мы обозначали ее ), а в качестве теории из теоремы 70 взять , то есть множество всех истинных в формул с константами из .
Применяя указанный в теореме 70 критерий, можно сформулировать утверждение, которое нам осталось доказать, так: найдется модель теории , которая является расширением и в которой истинны все -формулы сигнатуры , выводимые из . Вспоминая метод диаграмм, можно сказать, что нас интересует совместность теории с и со всеми - следствиями теории в сигнатуре . В данном случае можно и не упоминать явно, так как оно содержится в .
Итак, осталось доказать, что теория совместна со всеми -формулами с константами из , истинными в . Если это не так, из выводится отрицание какой-то из этих формул, то есть некоторая -формула
ложная в . Константы не входят в теорию , поэтому из выводится и формула которая будет выводимой из формулой класса , ложной в , а таких формул не бывает по условию.Лемма о расширении (а с ней и теорема Чэна-Лося-Сушко) доказана.
154. Докажите, что если формула устойчива относительно объединения возрастающих цепей, то она выводимо эквивалентна некоторой -формуле той же сигнатуры.
155. Покажите, что две интерпретации одной сигнатуры элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют изоморфные элементарные расширения.