Теории и модели

Полные теории

В этом разделе мы попытаемся систематизировать уже известные нам понятия и факты.

• Начнем с напоминаний. Сигнатурой мы называли набор предикатных и функциональных символов. Среди формул данной сигнатуры выделяют замкнутые (формулы без параметров). Сигнатура имеет интерпретации, в которых замкнутые формулы этой сигнатуры бывают истинными и ложными. Произвольное множество замкнутых формул данной сигнатуры называется теорией в этой сигнатуре. Моделью теории называется интерпретация, в которой все формулы теории истинны. Теория называется совместной, если она имеет модель.
• Теория называется теорией с равенством, если она включает в себя аксиомы равенства (а ее сигнатура содержит символ равенства). Интерпретация теории с равенством называется нормальной, если равенство интерпретируется как совпадение элементов носителя интерпретации. Совместная теория с равенством имеет нормальную модель (получаемую из произвольной модели факторизацией по отношению равенства).

• Говорят, что замкнутая формула выводима в теории (является теоремой теории ), если формула получается из аксиом исчисления предикатов и формул теории по правилам вывода. (Обозначение: .)

  Формула выводима в теории тогда и только тогда, когда в исчислении предикатов выводится некоторая формула вида , где — конъюнкция конечного числа формул из .

  Формула семантически следует из , если она истинна в любой модели теории (обозначение: ). Семантическое следование равносильно выводимости (теорема 51). Взяв в качестве тождественно ложную формулу (скажем, отрицание тавтологии), приходим к понятиям противоречивости ( ) и несовместности ( , не имеет моделей). В противоречивой теории выводима любая формула (соответствующей сигнатуры).
• Непротиворечивая теория полна (в данной сигнатуре), если для любой замкнутой формулы этой сигнатуры либо формула , либо ее отрицание выводится из .
• Для произвольной интерпретации произвольной сигнатуры можно рассмотреть элементарную теорию интерпретации , обозначаемую и состоящую из всех истинных в замкнутых формул сигнатуры . Очевидно, эта теория полна (одна из формул и ей принадлежит). Две интерпретации и элементарно эквивалентны, если .
• Теория называется конечно аксиоматизируемой, если существует конечное множество теорем теории , из которых выводятся все утверждения из (другими словами, если существует конечная теория, имеющая то же самое множество теорем).
• Теория с равенством, имеющая конечную или счетную сигнатуру, называется категоричной в счетной мощности, если все ее счетные нормальные модели изоморфны. Категоричность в данной несчетной мощности определяется аналогично.
• Теория с конечной сигнатурой называется разрешимой, если существует алгоритм, который по произвольной замкнутой формуле определяет, выводима ли она в этой теории или нет.

117. Покажите, что добавление к теории любой ее теоремы не меняет множества теорем.

Прежде чем переходить к примерам, сделаем два простых наблюдения.

Теорема 65 (критерий Лося-Воота). Непротиворечивая теория с равенством в конечной или счетной сигнатуре, не имеющая конечных моделей и категоричная в счетной мощности, полна.

Предположим, что ни одна из формул и не выводима в теории . Тогда обе теории и непротиворечивы. По теореме 47) они имеют счетные модели, которые остаются счетными после факторизации (перехода к нормальным моделям), поскольку теория не имеет конечных моделей. Эти счетные модели должны быть изоморфными (в силу категоричности). С другой стороны, в одной из них истинна формула , а в другой — формула , так что они даже не элементарно эквивалентны (мы знаем из раздела "Элементарная эквивалентность", что такого быть не может).

Аналогично доказывается и общая форма критерия Лося-Воота:

Теорема 66. Непротиворечивая теория с равенством в конечной или счетной сигнатуре, не имеющая конечных моделей и категоричная в данной несчетной мощности , полна.

Пусть теория не полна и к ней можно присоединить без противоречия любую из формул и . Рассмотрим счетные нормальные модели теорий и . По теореме 62 увеличим их мощности до и получим противоречие.

118. Условие конечности или счетности сигнатуры в этой теореме можно ослабить. Как это сделать?

Вот пример применения теоремы 66. Теория алгебраически замкнутых полей характеристики категорична в любой несчетной мощности. (Это можно доказать, используя базисы трансцендентности: такое поле имеет базис трансцендентности над полем алгебраических чисел, мощность которого равна мощности всего поля, а два поля с равномощными базисами трансцендентности изоморфны). Следовательно, эта теория полна.

Заметим, что это наблюдение согласовано со знаменитой (и трудной!) теоремой Морли; эта теорема утверждает, что теория с равенством, категоричная в одной несчетной мощности, категорична и во всех несчетных мощностях. (Подробно о теореме Морли можно прочесть, например, в учебнике Кейслера и Чэна [13])

Теорема 67. Конечно аксиоматизируемая полная теория в конечной сигнатуре разрешима.

Пусть дана произвольная формула . Будем перебирать все выводы в исчислении предикатов и проверять, не обнаружилась ли выводимость одной из формул или из конъюнкции некоторых аксиом теории . Рано или поздно одна из них окажется выводимой (поскольку теория полна), и тем самым мы узнаем, какая из формул выводима в теории.

Это доказательство неконструктивно в том смысле, что не дает никакой оценки на время работы алгоритма. Отметим также, что не обязательно требовать конечной аксиоматизируемости теории; достаточно, чтобы она имела разрешимое или перечислимое множество аксиом (см. [5]).

Проиллюстрируем все эти понятия на нескольких (в основном уже обсуждавшихся нами) примерах.