Россия, Новосибирск |
Контрпример
Лемма 1. Пусть — непротиворечивая пара, а — произвольная формула. Тогда хотя бы одна из пар и непротиворечива.
Доказательство леммы 1. Пусть обе пары с добавленным противоречивы. Надо доказать, что противоречива исходная пара. Другими словами, надо показать, что если в интуиционистском исчислении высказываний выводимы формулы
то выводима и формула (для простоты мы отождествляем множества и с конъюнкцией и дизъюнкцией их элементов и считаем и формулами).В самом деле, по лемме о дедукции достаточно доказать, что . Для этого достаточно установить, что
поскольку в предположении у нас уже есть. Для этого, в свою очередь, достаточно установить, что и . Первое очевидно (и посылка не нужна), второе равносильно выводимости формулы , которая нам дана по условию леммы. Лемма 1 доказана.Проведенное рассуждение, как говорят, устанавливает допустимость (в интуиционистской логике) правила сечения, позволяющего "иссечь" формулу из формул и и получить формулу .
Возвращаясь к доказательству теоремы, рассмотрим произвольную непротиворечивую пару . Рассматривая по очереди различные формулы , мы будем добавлять их к левой или правой части. Чтобы этот процесс ("пополнение") был конечным, мы ограничимся формулами из некоторого множества.
Фиксируем некоторое конечное множество формул , которое содержит все формулы из и замкнуто относительно перехода к подформулам (если формула входит в , то все ее подформулы входят в ). Например, можно включить в все подформулы всех формул из и из .
Пару , у которой , будем называть полной, если она непротиворечива и любая формула из входит либо в , либо в (то есть ). Заметим, что из непротиворечивости следует, что , так что полная пара задает разбиение на две части. (Более точно полные пары следовало бы называть "полными относительно ", но у нас множество фиксировано.)
Лемма 2. Исходная пара может быть расширена до полной: существует полная пара , для которой , .
Доказательство очевидно: применяем по очереди лемму 1 ко всем формулам из .
Точно так же любую непротиворечивую пару, составленную из формул множества , можно расширить до полной. (Это замечание нам впоследствии понадобится.)
Для завершения доказательства теоремы 26. нам осталось показать, что всякая полная пара совместна (существует шкала и мир, в котором формулы из истинны, а формулы из ложны). В отличие от классического случая построение будет использовать не только пару , но и все полные пары.
Шкала Крипке строится так. Мирами будут полные пары (то есть всевозможные непротиворечивые разбиения множества на левую и правую части). Истинность переменных определяется естественным образом: всякая переменная , входящая в одну из формул множества , сама принадлежит множеству (замкнутость относительно подформул); если входит в левую часть полной пары , то истинна в мире , если в правую — то ложна. (Впоследствии это свойство мы распространим на все формулы: любая формула из окажется истинной в мире , а любая формула из — ложной.)
Осталось определить порядок на множестве пар. Считаем, что , если . (Такое определение не удивительно, если вспомнить, что истинность формул наследуется вверх.)
Лемма 3. В построенной шкале в мире истинны все формулы из и ложны все формулы из .
Доказательство леммы 3 проводится индукцией по построению формул. Для переменных она верна по определению истинности. Пусть некоторая формула из не является переменной. Тогда она есть конъюнкция, дизъюнкция, импликация или отрицание и для ее частей утверждение леммы верно по предположению индукции. Рассмотрим все случаи по очереди, начав с конъюнкции и дизъюнкции (истинность которых не зависит от других миров).
( ) Пусть формула входит в . Тогда формулы и не могут входить в , иначе пара была бы противоречивой (из выводится и ). Значит, и входят в (полнота), поэтому они истинны (предположение индукции), и потому истинна (определение истинности).
( ) Пусть формула входит в . Могут ли обе формулы и входить в ? Нет, так как в этом случае пара была бы противоречивой. Значит, хотя бы одна из формул входит в , тогда по предположению индукции она ложна, и потому формула ложна в мире .
( ) Если формула входит в , то формулы и не могут одновременно входить в , и потому хотя бы одна из них истинна, так что и вся формула истинна.
( ) Если формула входит в , то формулы и не могут входить в , поэтому обе они ложны и формула ложна.
( ) Пусть формула входит в . Проверим, что она истинна в . Это значит, что в любом мире , который выше нашего (то есть ) и в котором истинна формула , должна быть истинна и формула . В самом деле, если истинна в , то она входит в (предположение индукции). С другой стороны, и входит в , поскольку . Теперь ясно, что формула не может входить в , так как в этом случае пара была бы противоречивой (из и выводится ). Значит, входит в и потому истинна в по предположению индукции.
( ) Это наиболее интересный случай, где нам снова потребуется пополнение. Пусть формула входит в . Мы должны доказать, что она ложна в мире . Согласно определению, это означает, что найдется мир , для которого и в котором формула истинна, а формула ложна (то есть и , согласно предположению индукции). Как найти такой мир? Рассмотрим пару . Эта пара непротиворечива. В самом деле, если бы формула была бы выводима, то и формула была бы выводима (лемма о дедукции), и потому пара была бы противоречива. Теперь можно расширить непротиворечивую пару до полной пары , которая и будет искомым миром.
Отрицание рассматривается аналогично импликации (как мы уже говорили, можно вместо отрицания ввести тождественную ложь и вообще его не рассматривать).
( ) Пусть формула входит в . Надо доказать, что формула ложна в любом мире выше мира . Формула не может входить в , так как в входит формула (напомним, что ), а из выводится любая формула. Значит, входит в и по индуктивному предположению формула ложна в .
( Пусть формула входит в . В этом случае пара непротиворечива (если из и выводится противоречие, то из выводится ). Расширив ее до полной, получаем высший мир , в котором формула истинна (по индуктивному предположению). Следовательно, формула ложна в мире .
Лемма 3 доказана. Она завершает доказательство теоремы 26. Напомним еще раз его схему. Пусть формула не выводима в интуиционистском исчислении высказываний. Тогда пара непротиворечива. Фиксируем множество всех подформул формулы . Расширим нашу непротиворечивую пару до полной (относительно ). Эта полная пара будет одним из миров шкалы Крипке (в которой мирами являются полные пары). Именно в этом мире и будет ложной формула .
36. Покажите, что если формулы и ложны в некоторых мирах некоторых шкал Крипке, то можно построить шкалу Крипке и мир в ней, для которого формула будет ложной. (Указание: соединим шкалы, в которых ложны формулы и , в одну, добавив новый мир, который меньше миров, где и ложны.)
Из этой задачи и из теоремы о полноте вытекает такое следствие: если дизъюнкция двух формул выводима в интуиционистском исчислении высказываний, то хотя бы одна из формул тоже выводима. Это свойство выполнено для многих интуиционистских исчислений и соответствует начальной идее: доказать означает доказать одну из формул или . Подобные свойства можно доказывать и синтаксически, используя генценовские варианты интуиционистских исчислений.
37. (а) Покажите, что формула выводима в интуиционистском исчислении высказываний. (б) Покажите, что если формулы и выводимы в интуиционистском исчислении высказываний, то и формула выводима в интуиционистском исчислении высказываний. (в) Докажите, что если формула выводима в классическом исчислении высказываний, то формула выводима в интуиционистском исчислении высказываний (теорема Гливенко) (г) Покажите, что для формул, содержащих лишь конъюнкцию и отрицание, разницы между классическим и интуиционистским исчислениями нет: из классической выводимости следует интуиционистская (теорема Геделя).
Покажите, что интуиционистское исчисление высказываний разрешимо: существует алгоритм, который по произвольной формуле определяет, выводима ли она в интуиционистском исчислении высказываний. (Указание: оцените мощность контрмодели Крипке; можно обойтись и без этого, заметив, что и множество выводимых формул, и множество формул, имеющих конечные контрмодели, перечислимы.)