НОУ ИНТУИТ | Теория экспериментов с конечными автоматами. Лекция 21: Эксперименты с билинейными автоматами по распознаванию состояний

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 17.02.2011 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 3 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Установочные последовательности

Условия существования такой последовательности даются следующей теоремой.

Теорема 21.4. Для того чтобы последовательность $\bat u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(t)$ была УП для БА $\tilde A$ , необходимо и достаточно, чтобы для каждого ненулевого состояния $\bar s \in S_n$ выполнялось по крайней мере одно из двух условий:

$\wedge_{d=0}^t[C+J(\bar u(d))] \prod_{i=0}^{d-1}[A+I(\bar u(d-i-1))]\bar s \ne 0$ ;
$\prod_{i=0}^{t}[A+I(\bar u(t-i))]\bar s=[0]$

Здесь знак $\wedge_{d=0}^t(\vee_{d=0}^t)$ означает дизъюнкцию (конъюнкцию) выражений, стоящих за этим знаком и получаемых при изменении индекса от 0 до . Условимся о следующем: если при вычислении $I(\bar u(\nu))$ и $J(\bar u(\nu))$ окажется, что $\nu \lt; 0$ при некоторых и , то в соответствующем выражении сомножители $[A+I(\bar u(\nu))]$ и $[C+J(\bar u(\nu))]$ полагаются равными единичной матрице.

Доказательство. Применительно к БА $\tilde A$ определение 1.2 УП принимает следующий вид: последовательность $\bat u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(t)$ называется УП, если

$\forall \bar s_1, \bar s_2, \in S_n, \wedge_{d=0}^t\{[C+J(\bar u(d))]\prod_{i=0}^{d-1}[A+I(\bar u(d-i-1))]s_1+\dots\\ \dots +[C+J(\bar u(d))]B\bar u(d-1)+D\bar u(d)=[C+J(\bar u(d))]\prod_{i=0}^{d-1}[A+I(d-i-1)]\bar s_2+ \dots\\ \dots =[C+j(\bar u(d))]B\bar u(0)+ \dots + [A+I(u(t))]B\bar u(t-1)+B\bar u(t)=\\ =\prod_{i=0}^{t-1}[A+I(\bar u(t-i-1))]B\bar u(0)+\dots +[A+I(u(t))]B\bar u(t-1)+B\bar u(t)=\\ =\prod_{i=0}^{t-1}[A+I(\bar u(t-i))]\bar s_2+\prod_{i=0}^{t-1}[A+I(\bar u(t-i-1))]B\bar u(0)+\dots +[A+I(\bar u(t))]B\bar u(t-1)+B\bar u(t) \right ]$

Преобразуем каждое в отдельности равенство, стоящее до и после знака импликации, перенеся все в левые их части и осуществив соответствующие сокращения, в результате чего получим

$\forall \bar s_1, \bar s_2 \in S_n, [\wedge_{d=0}^t[C+J(\bar u(d))]\prod_{i=0}^t[A+I(d-i-1)](\bar s_1-\bar s_2)=[0]] \to\\ \to \prod_{i=0}^t[A+I(\bar u(t-i))](\bar s_1- \bar s_2)=[0]$

Поскольку $\bar s_1$ и $\bar s_2$ - произвольные не совпадающие между собой состояния из S_n , то и состояние $\bar s=\bar s_1 - \bar s_2$ также может быть любым ненулевым состоянием из S_n . Отсюда следует, что последний предикат эквивалентен предикату

$\forall \bar s \ne [0] [\wedge_{d=0}^t[C+J(\bar u(d))] \prod_{i=0}^{d-1}[A+I(\bar u(d-i-1))]\bar s=[0] \to \prod_{i=0}^t[A+I(\bar u(t-i))]\bar s=[0]$

Поскольку $X \to Y$ эквивалентно $\bar X \vee Y$ , то последний предикат эквивалентен следующему предикату

$\forall \bar s \ne [0] [\vee_{d=0}^t[C+J(\bar u(d))]\prod_{i=0}^{d-1}[A+I(\bar u(d-i-1))]\bar \ne [0]] \vee \vee \prod_{i=0}t[A+I(\bar u(t-i))]\bar s=[0]$

Из этого предиката и следует справедливость теоремы.

Проиллюстрируем предложенный метод на примере БА над полем GF(2) , у которого n=3, l=2, m=2 , а характеристические матрицы таковы:

$A= \left [ \begin {matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end {matrix} \right ] , B= \left [ \begin {matrix} 1&0\\ 0&1\\ 1&0 \end {matrix} \right ], F_1= \left [ \begin {matrix} 0&0&1\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end {matrix} \right ], F_2= \left [ \begin {matrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 1&0&1 \end {matrix} \right ] ,\\ C= \left [ \begin {matrix} 0&0&1\\ 0&1&1 \end {matrix} \right ], D= \left [ \begin {matrix} 1&0\\ 0&1 \end {matrix} \right ] , G_1= \left [ \begin {matrix} 1&0&1\\ 0&1&1 \end {matrix} \right ], G_2= \left [ \begin {matrix} 0&1&1\\ 1&0&1 \end {matrix} \right ]$

Первое условие теоремы 21.4 при d=0 порождает систему уравнений

$[C+J(\bar u(0))]\bar s= \left [ \begin {matrix} u_1(0)& u_2(0)& u_1(0)+u_2(0)+1\\ u_2(0)& u_1(0)+1& u_1(0)+u_2(0)+1 \end {matrix} \right ] * \left [ \begin {matrix} s_1\\ s_2\\ s_3 \end {matrix} \right ]=[0]$

Рассмотрим теперь все возможные векторы $\bar u(0):[0,0]' [1,0]', [1,0]', [1,1]'$ . Их подстановка в выписанную нелинейную систему порождает четыре следующих системы:

$begin {cases} s_3=0,\\ s_2+s_3=0 \end {cases}, begin {cases} s_2=0,\\ s_1+s_2=0 \end {cases}, begin {cases} s_1,,\ 0=0, \end {cases}, begin {cases} s_1+s_2+s-3=0,\\ s_1+s_3=0 \end {cases}$

Каждая из этих систем относительно неизвестных s_1, s_2, s_3 имеет не единственное решение, и поэтому условие 1 теоремы 21.4 для всех входных последовательностей длины 1 не выполняется. Перейдем теперь к проверке условия 2 той же теоремы, которое при d=0 порождает систему

$[A+I(\bar u(0))]\bar s= \left [ \begin {matrix} 1&0&u_i(0)+u_2(0)\\ 0&u_1(0)+1&0\\ u_2(0)&0&u_2(0)+1 \end {matrix} \right ]* \left [ \begin {matrix} s_1\\ s_2\\ s_3 \end {matrix} \right ]=[0]$

Легко проверить, что эта система имеет единственное (нулевое) решение при любом $\bar u(0)$ , т. е. условие 2 также не выполняется. Поэтому перейдем к поиску УП длины 2, полагая d=1 .

Условие 1 теоремы 21.4 порождает следующую систему уравнений:

$begin {cases} [C+J(\bar u(0))]\bar s=[0],\\ {C+J(\bar u(1))][A+I(\bar u(0))]\bar s=[0] \end {cases}$

В координатной записи эта же система имеет следующий вид:

$\left [ \begin {matrix} u_1(0)&u_2(0)&u_1(0)+u_2(0)+1\\ u_2(0)&u_1(0)+1&u_1(0)+u_2(0)+1 \end {matrix} \right ]* \left [ \begin {matrix} s_1\\ s_2\\ s_3 \end {matrix} \right ]=[0],\\ \left [ \begin {matrix} [u_1(1)+u_2(1)+1]*&u_2(1)[u_1(0)+1]&u_1(1)[u_1(0)+u_2(0)]+\\ *u_2(0)+u_1(1)&&+u_1(1)+u_2(1)+1][u_2(0)+1]\\ [u_1(1)+u_2(1)+1]*&[u_1(1)+1]*&u_2(1)[u_1(0)+u_2(0)]+\\ *u_2(0)+u_2(01)&*[u_1(0)+1]&+[u_1(1)+u_2(1)+1][u_2(0)+1] \end {matrix} \right ]* \left [ \begin {matrix} s_1\\ s_2\\ s_3 \end {matrix} \right ]=[0]$

Теперь необходимо рассмотреть все возможные пары векторов $\bar u(0), \bar u(1)$ и, подставляя их в выписанную выше систему, получить множество систем линейных уравнений относительно неизвестных s_1, s_2, s_3 . Вычисления показывают, что, например, для пар входных векторов $\bar u(0)=[1,1]', \bar u(1)=[0,0}'$ и $\bar u(0)=[0,0]', \bar u(1)=[1,0]'$ первая подсистема $[C+J(\bar u(0))]\bar s=[0]$ имеет ненулевое решение ( $\bar s=[1,0,1]'$ и $\bar s=[1,0,0]'$ соответственно), а вторая подсистема для этих же пар входных векторов имеет единственное (нулевое) решение. Последний факт означает, что условие 1 теоремы выполняется, следовательно, обе приведенные входные последовательности являются для рассматриваемого БА установочными. Заметим, что этот БА имеет и другие УП длины 2, которые находятся аналогично.

Для подтверждения сказанного, в приведенной таблице показаны реакции рассматриваемого БА на две найденные входные последовательности и соответствующие конечные состояния. Состояния БА в таблице закодированы в виде десятичного эквивалента двоичного представления вектора-состояния. Так, например, состояние $\bar s=[1,0,0]'$ закодировано числом 4, состояние $\bar s=[1,0,1]'$ - числом 5 и т. д.

Входное слово 3, 0			Входное слово 0, 2
Начальное состояние	Реакция БА	Конечное состояние	Реакция БА	Конечное состояние
0	3, 2	7	0, 2	5
1	0, 2	7	3, 2	0
2	1, 2	7	1, 2	5
3	2, 2	7	2, 2	0
4	0, 1	2	0, 0	1
5	3, 1	2	3, 0	5
6	2, 1	2	1, 0	1
7	1, 1	2	2, 0	4

Аналогичная кодировка в таблице принята для входных и выходных векторов. Так, УП [0,0]', [1,0]' закодирована как последовательность 0, 2; а УП [1,1]', [0,0]' - как последовательность 3, 0.

Диагностические последовательности

Условия существования такой последовательности даются следующей теоремой.

Теорема 21.5. Для того чтобы последовательность $\bat u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(t)$ была ДП для БА $\tilde A$ , необходимо и достаточно, чтобы

$rank \left [ \begin {matrix} C+J(\bar u(0)\\ [C+J(\bar u(1))][A+I(\bar u(0))]\\ ………………………………….\\ [C+J(\bar u(t))]\prod_{i=0}^{t-1}[A+I(\bar u(t-i-1))] \end {matrix} \right ]=n, \ \mbox {где} \ {n} \ \mbox {размерность БА}$

Доказательство. Применительно к БА определение 1.3 ДП принимает следующий вид: последовательность $\bat u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(t)$ называется ДП, если

$\forall \bar s_1, \bar s_2 \in S_n \wedge_{d=0}^{t} \left \{[C+J(\bar u(d))]\prod_{i=0}^{d-1}[A+I(\bar u(d-i-1))]\bar s_1+$

$\dots, [C+J(\bar u(d))]B\bar u(d-1)+D\bar u(d)=[C+J(\bar u(d))]\prod_{i=0}^{d-1}[A+I(\bar u(d-i-1))]\bar s_2+$

$\dots +[C+J(\bar u(d))]B\bar u(d-1)+D\bar u(d) \right \} \to \bar s_1=\bar s_2$

Выполнив преобразование так же, как это делалось в предыдущем доказательстве, получим предикат

$\forall \bar s_1, s_2 \in S_n \wedge_{d=0}^{t} \left \{[C+J(\bar u(d))]\prod_{i=0}^{d-1}[A+I (\bar u(d-i-1))](\bar s_1-\bar s_2)=0] \right \} \to \bar s_1=\bar s_2$

Если последовательность $\bat u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(t)$ является для БА диагностической, то это означает, что знание реакции БА на нее позволяет однозначно найти ее начальное состояние. Выходы БА на ДП, используя (21.4), можно представить как функции от начального состояния $\bar s(0)$ :

$\bar y(0)=[C+J(\bar u(0))]\bar s(0)+D\bar u(0),\\ \bar y(1)=[C+J(\bar u(1))][A+I(\bar u (1))]\bar s(0)+[C+J(\bar u(1))]B\bar u(0)+D\bar u(1),\\ ………………………………….\\ \bar y(t)=[C+J(\bar u(t))]\prod_{i=0}^{t-1}[A+I(\bar u(t-i-1))]\bar s(0)+ \dots +D\bar u(t)$

Поскольку ДП $\bat u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(t)$ и реакция БА на нее известны, выписанные соотношения можно представить в виде

$[C+J(\bar u(0))]\bar s(0)= Ф_0(\bar u(0)),\\ [C+J(\bar u(1))][A+I(\bar u(0))]\bar s(0)= Ф_1(\bar u(0), \bar u(1)),\\ ………………………………………………………\\ [C+J(\bar u(t))] \prod_{i=0}^{i-1}[A+I(\bar u(t-i-1))]\bar s(0)= Ф_t(\bar u(0), \dots, \bar u(t)))$

где $Ф_i(\bat u(0), \dots, \bar u(i)), (i=\overline {0,t})$ - некоторые значения из поля GF(p) .

Выписанную совокупность соотношений можно интерпретировать как систему линейных уравнений относительно неизвестных $s_1(0), \dots, s_n(0)$ , являющихся координатами вектора-состояния $\bar s(0)$ . Однозначность восстановления начального состояния $\bar s(0)$ по наблюдаемой реакции $\bar y(0), \bar y(1), \dots, \bar y(t)$ при известной входной последовательности $\bat u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(t)$ означает, что представленная система линейных уравнений должна иметь единственное решение. Из [33] известно, что для этого необходимо и достаточно, чтобы ранг этой системы был равен числу ее неизвестных. Отсюда и следует справедливость теоремы.

Опишем теперь метод нахождения ДП для заданного БА, основанный на теореме 21.5. Метод состоит в переборе всевозможных входных слов $\bat u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(t)$ последовательно для $t=1,2,3,\dots$ и вычислении для очередного проверяемого слова ранга матрицы, фигурирующей в теореме 21.5. Если этот ранг окажется равным n, то проверяемое входное слово является искомой ДП. В противном случае указанный процесс продолжается далее до тех пор, пока значение параметра не достигнет своего предельного значения, равного верхней границе длины минимальной ДП для рассматриваемого БА. Если и при этом значении ДП не будет найдена, то для рассматриваемого БА ее не существует. Проиллюстрируем этот метод на примере БА, для которого выше осуществлялся поиск УП. Для этого БА приведем некоторые "составляющие" матрицы в условиях теоремы 21.5:

$[C+J(\bar u(0))]= \left [ \begin {matrix} u_1(0)&u_2(0)&u_1(0)+u_2(0)+1\\ u_2(0)&U_1(0)+1& u_1(0)+u_2(0)+1 \end {matrix} \right ],\\ [C+J(\bar u(0))][A+I(\bar u(0))]= \left [ \begin {matrix} [u_1(1)+u_2(1)]*u_2(0)+u_1(1)& u_2(1)[u_1(0)+1]&u_1(1)[u_1(0)+u_2(0)]+[u_1(1)+u_2(1)+1][u_2(0)+1]\\ [u_1(1)+u_2(1)]*u_2(0)+u_1(1)&[u_1(1)+1][u_1(0)+1]&u_2(1)[u_1(0)+u_2(0)]+[u_1(1)+u_2(1)+1][u_2(0)+1] \end {matrix} \right ]$

Размерность матрицы $[C+J(\bar u(0))]$ равна $2 \times 3$ , следовательно, ее ранг не может превышать 2. Но тогда, поскольку для рассматриваемой БС n=3 , условие теоремы 21.5 при t=0 не может быть выполнено. В связи с этим перейдем к перебору всевозможных входных слов длины 2 (полагая t=1 ). Рассмотрим, например, входное слово $\bar u(0), \bar (1)=3,0$ . Для него матрица из условия теоремы 21.5 имеет вид

$\left [ \begin {matrix} C+J(\bat u(0))\\ [C+J(\bar u(0))][A+I(\bar u(0))] \end {matrix} \right ]= \left [ \begin {matrix} 1&0&0\\ 1&0&0\\ 1&1&1\\ 1&0&1 \end {matrix} \right ]$

Поскольку ранг этой матрицы равен 3, проверяемое слово 3, 0 есть ДП. В этом можно убедиться по данным, приведенным в таблице. Для другого входного слова $\bar u(0), \bar u(1)=0,2$ та же матрица из условий теоремы равна

$\left [ \begin {matrix} 0&0&1\\ 0&1&1\\ 1&0&0\\ 0&0&0 \end {matrix} \right ]$

Ранг ее также равен 3, следовательно, входное слово 0, 2 также является ДП для рассматриваемого БА. Таким образом, оба входных слова 3, 0 и 0, 2 являются для рассматриваемого БА одновременно УП и ДП.

Вопросы и упражнения

Приведите определение билинейного автомата и выпишите уравнения состояний и выходов, описывающие его функционирование.
Дайте определения синхронизирующей, установочной и диагностической последовательностей билинейного автомата в терминах его характеристических матриц.
Сформулируйте и докажите критерий существования синхронизирующей последовательности для билинейного автомата.
Опишите аналитический метод построения синхронизирующей последовательности для билинейного автомата.
Сформулируйте и докажите критерий существования установочной последовательности для билинейного автомата.
Опишите аналитический метод построения установочной последовательности для билинейного автомата.
Сформулируйте и докажите критерий существования диагностической последовательности для билинейного автомата.
Опишите аналитический метод построения диагностической последовательности для билинейного автомата.

Дальше >>

Теория экспериментов с конечными автоматами

Теория экспериментов с конечными автоматами