НОУ ИНТУИТ | Теория экспериментов с конечными автоматами. Лекция 13: Синхронизация и устойчивость дискретных линейных систем

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 17.02.2011 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 3 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Введем теперь некоторую модификацию понятия СП.

Определение 13.5. Бесконечную последовательность $\{\tilde u(t)\}=\bar u(0), \bar u(1),\dots, \bar u(t)$ назовем $\varepsilon$ -синхронизирующей ( $\varepsilon$ -СП) для ДЛС над полем с множеством допустимых начальных состояний $Init (\tilde A)$ , если

$\forall \bar {s^i}(0), \bar {s^2}(0) \in Int(\tilde A) \forall \varepsilon > 0 \exists t_0 \in N t>t_0 \to |\bar {s^f}(\bar {s^1}(0), \hat u(t))-\bar{s^f}(\bar {s^2}(0), \hat u(t))|< \varepsilon,$

где $\hat u(t)$ - начальный отрезок длины t+1 входной последовательности $\{\tilde u(t)\}$ .

Поясним содержательно различие между СП и $\varepsilon$ -СП. После подачи СП (она имеет конечную длину) ДЛС оказывается в одном и том же известном конечном состоянии. В то же время после подачи начального отрезка $\varepsilon$ -СП ДЛС переводится хотя и в различные конечные состояния, но расстояние между ними может быть сделано меньше любого заранее заданного числа $\varepsilon$ за счет подходящего выбора длины упомянутого начального отрезка.

Теорема 13.5. Для того чтобы ДЛС $\tilde A$ , у которой множество допустимых начальных состояний $Init (\tilde A)$ ограничено, имела $\varepsilon$ -СП, достаточно, чтобы все собственные числа $\lambda_{\nu}$ ее характеристической матрицы лежали внутри единичного круга

$|\lambda_{\nu}|<1$

( 13.5)

Доказательство. Проведем его для случая, когда все собственные числа матрицы A различны. Как следует из определения 13.5, существование $\varepsilon$ -СП $\{\tilde u(t)\}$ эквивалентно тому, что

$\lim_{t \to \infty}|\bar {s^f}(0), \hat u(t))-\bar {s^f}(\bar {s^2}(0), \hat u(t))|=0$

В силу аналога формулы (1.3) для ДЛС этот предел эквивалентен

$\lim_{t \to \infty}|A^{t+1}(\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0))|=0$

По условию теоремы $|\bar {s^1}(0)|<M$ и $|\bar {s^2}(0)|>M$ , где M=const , но тогда и для состояния $\tilde s(0)=\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0)$ выполняется неравенство $|\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0)|>M$ .

Рассмотрим ДЛС $\tilde A*$ , заданную уравнением переходов

$\tilde s(t+1)=A\tilde s(t)$

( 13.6)

Очевидно, что существование $\varepsilon$ -СП для ДЛС $\tilde A$ эквивалентно выполнению следующего равенства для ДЛС $\tilde A*$ :

$\lim_{t \to \infty}|\tilde s(t+1)|= \lim_{t \to \infty}|A^{t+1}\tilde s(0)|=0$

Введем замену $\tilde s(t)=Sz(t)$ , где - невырожденная матрица, столбцами которой являются собственные векторы матрицы , причем

$S^{-1}AS=diag\{\lambda_{\nu}\}$

где $diag\{\lambda_{\nu}\}$ - диагональная матрица. Если $|\bar s(t)|<M$ , то, очевидно, и $|\bar z(t)<M_1|$ , где M_1=conct . Из уравнения (13.6) следует, что

$z(t+1)=S^{-1}AS \bar z(t)$

или в координатной форме $z_{\nu}(t+1)=\lambda_{\nu}z_{\nu}(t)$ .

Учитывая, что

$z_{\nu}(t+1)=\lambda_{\nu}^t z_{\nu}(0)\to {z_{\nu}(t+1|=|\lambda_{\nu}^t|{z_{\nu}(0)|$

в силу условия (13.5) и того факта, что $|z_{\nu}(t)|<M_1$ , получаем

$\lim_{t \to \infty}|z_{\nu}(t+1)|=0$

Отсюда вытекает, что

$\lim_{t \to \infty}|\bar s(t+1)|= \lim_{t \to \infty}|S\barz(t+1)|=0$

а это, как было упомянуто выше, эквивалентно существованию $\varepsilon$ -СП для ДЛС $\tilde A$ .

Заметим, что эта теорема остается справедливой и в случае кратных собственных чисел, но доказательство ее немного усложняется.

Следствие. Если у ДЛС $\tilde A$ над полем все собственные числа характеристической матрицы лежат внутри единичного круга, то любая бесконечная входная последовательность $\{\tilde u(t)\}$ является для нее $\varepsilon$ -СП.

Справедливость следствия вытекает из того, что в условиях теоремы 13.5 входная последовательность $\{\tilde u(t)\}$ является произвольной.

Коснемся теперь связи между устойчивостью ДЛС над полем и свойством $\varepsilon$ -синхронизации. Напомним [38], что свободная ДЛС над полем называется устойчивой по начальным условиям, если

$\lim_{t \to \infty}\bar s(t)=[0]$

ДЛС, для которой из условия $|\bar u(t)|\le M=const$ следует ограниченность $|\bar s(t)|$ , называется устойчивой к внешним возмущениям. При наличии обоих указанных свойств ДЛС называется устойчивой.

Понятно, что из устойчивости ДЛС по начальным условиям вытекает справедливость равенства

$\lim_{t \to \infty}|\bar s(t)|=0$

Последнее означает, что бесконечная нулевая входная последовательность является для ДЛС $\varepsilon$ -СП.

Известно [38], что условие (13.5) есть достаточное условие устойчивости. Таким образом, из теоремы 13.5 следует, что для свободной ДЛС в случае выполнения условия (13.5) понятие $\varepsilon$ -синхронизации и устойчивости равносильны.

Из существования СП следует существование $\varepsilon$ -СП (она состоит из двух подпоследовательностей, первая из которых совпадает с СП, а вторая, бесконечная, может выбираться произвольно), однако обратная импликация места не имеет.

Состояние ДЛС $\tilde A$ , в которое она переходит после подачи на ее входы СП ( $\varepsilon$ -СП), назовем синхросостоянием. Ясно, что в общем случае различные СП ( $\varepsilon$ -СП) могут переводить ДЛС как в различные, так и совпадающие синхросостояния.

В разделе 1.2 лекции 1 была рассмотрена задача о переводе ЛА над полем GF(p) в заданное синхросостояние с помощью СП. Точно такая же задача может быть сформулирована и для ДЛС над полем , и метод ее решения аналогичен методу, предложенному для случая ЛА.

Сформулируем подобную задачу для ДЛС, когда в качестве "переводящей" последовательности используется $\varepsilon$ -СП.

Пусть заданы ДЛС $\tilde A$ размерности над полем , синхросостояние $\bar s$ и величина $\varepsilon$ . Требуется найти входную последовательность конечной длины (начальный отрезок $\varepsilon$ -СП), которая переводит ДЛС в такое состояние $\bar s$ , что $|\tilde s-\bar s|<\varepsilon$ .

Пусть множество $Init(\tilde A)$ допустимых начальных состояний ДЛС $\tilde A$ ограничено и для любого

$\tilde s=[s_1*, \dots, s_n*] \in Init(\tilde A)$

выполняется неравенство

$|\tilde s| \le M$

( 13.7)

Очевидно, что если

$|s_i*| \le \frac {M}{\sqrt n}, i=1m \dots, n$

то неравенство (13.7) заведомо будет выполнено. Теперь найдем такое минимальное число , чтобы выполнялось неравенство

$|A^k \tilde S*| \le \varepsilon$

где $\tilde s*=\left [ \frac {M}{\sqrt n}, \dots, \frac {M}{\sqrt n}\right ]$ .

Используя аналог формулы (1.3) для ДЛС $\tilde A$ , выпишем следующее равенство:

$A^{k-1}B\bar u(0)+A^{k-2}B\bar u(1)+ \dots +AB\bar u(k-2)+B\bar u(k-1)=\bar s-A^k\bar s*$

( 13.8)

Его можно рассматривать как СЛАУ относительно координат векторов входной последовательности $\bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(k-1)$ . Понятно, что решение этой системы будет давать искомую входную последовательность.

Проиллюстрируем изложенное на примере. Пусть ДЛС над полем с одним входным каналом задана характеристическими матрицами

$A= \left [ \begin {matrix} 0.01&0.05&0.00\\ 0.05&0.001&0.02\\ 0.00&0.02&0.0001 \end {matrix} \right ], B= \left [ \begin {matrix} 2.0\\ 3.0\\ 4.0 \end {matrix} \right ]$

Путем вычислений можно убедиться, что собственными значениями матрицы являются числа $\lambda_1=0.01, \lambda_2=0.001, \lambda_3=0.0001$ . Отсюда на основании теоремы 13.5 можно утверждать, что рассматриваемая ДЛС является синхронизируемой.

Пусть требуется перевести эту ДЛС в синхросостояние $\bar s=[0.4,1.2,-0.3]'$ , и пусть точность, с которой это надо осуществить, равна $\varepsilon = 0.001$ . Предположим, что для любого $\tilde s \in Init(\tilde A)$ выполняется неравенство $|\tilde s| \le 1.3$ Отсюда получаем, что $\tilde s*=[0.75,0.75,0.75]'$ .

Определим теперь минимальную начальную длину отрезка $\varepsilon$ -СП, обеспечивающую перевод рассматриваемой ДЛС в заданное синхросостояние с точностью $\varepsilon =0.001$ . В соответствии с изложенным вычислим

$A^2= \left [ \begin {matrix} 0.0026&0.00055&0.001\\ 0.00055&0.002901&0.000022\\ 0.001&0.000022&0.0004 \end {matrix} \right ], A^2\tilde s*= \left [ \begin {matrix} 0.00312\\ 0.006312\\ 0.001066 \end {matrix} \right ], |A^2\bar s*|=0.007141$

Поскольку $|A^2\tilde s*|>\varepsilon = 0.001$ , вычислим

$A_3= \left [ \begin {matrix} 0.0054&0.000151&0.000011\\ 0.0002&0.000031&0.00\\ 0.00011&0.000058&0.00 \end {matrix} \right ], A^3\tilde s*= \left [ \begin {matrix} 0.00016\\ 0.000173\\ 0.000052 \end {matrix} \right ], |A^3\tilde s*|=0.000242$

Поскольку $|A^3\tilde s*|<\varepsilon = 0.001$ , заданная точность достигнута. Таким образом, начальный отрезок искомой $\varepsilon$ -СП, обеспечивающий перевод рассматриваемой ДЛС в синхросостояние [0.4,1.2-0.3]' с заданной точностью $\varepsilon = 0.001$ , будет иметь длину k = 3 . Исходя из этого, система (13.8) примет вид

$A^2B\bar u(0)+AB\bar u(1)+B\bar u(2)=\bar s-A^3\bar s*$

В координатной форме эта система такова:

$0.01085 u(0) + 0.17 u(1) + 2.0 u(2) = 0.399839,\\ 0.00989 u(0) + 0.1834 u(1) + 3.0 u(2) = 1.119827,\\ 0.00366 u(0) + 0.0604 u(1) + 4.0 u(2) = -0.299048.$

Решая эту систему, получим следующий результат:

u(0) = -507.625899, u(1) = 36.675231, u(2) = -0.163412.

Итак, полученная входная последовательность переводит рассматриваемую ДЛС из любого состояния множества $Init (\tilde A)$ , состоящего из всевозможных трехмерных векторов, длины которых не превосходят величины M = 1.3 , в состояния, отстоящие от заданного синхросостояния $\bar s=[0.4,1.2,-0.3]'$ не более чем на 0.001.

Сделаем замечание, касающееся методов решения системы уравнений вида (13.8). Отметим, что правая часть этой системы является не точной, а приближенной величиной. Это же относится и к элементам различных степеней матриц и произведений матриц, поскольку при их вычислении производятся округления. Поэтому для решения системы (13.8) целесообразно пользоваться приближенными методами. Сейчас известен широкий спектр подобных методов [4], каждый из которых характеризуется различными условиями сходимости, и поэтому для каждой конкретной системы вида (13.8) необходимо подбирать такой, который гарантирует сходимость. Что касается практической реализации, то приближенные методы к тому же, как правило, менее трудоемки, чем точные.

Приведенные выше результаты относились к стационарным ЛА. Что касается нестационарных ЛА, то полные аналоги этих результатов оказываются справедливыми и для них.

Так, определив для НЛА состояние равновесия и асимптотически устойчивое состояние равновесия, как это делалось для стационарных ЛА (определения 13.2 и 13.3 соответственно), легко доказать, что теоремы 13.1 и 13.2 остаются справедливыми и для НЛА. Формулировка теоремы 13.3 для НЛА претерпевает незначительное изменение.

Теорема 13.3. Для того чтобы свободный НЛА $\tilde A$ над полем GF(p) имел асимптотически устойчивое состояние равновесия, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое целое положительное , что

$A(t) A(t-1)\dots A(0) = [0]$

Заметим, что для НЛА над полем GF(p) асимптотическая устойчивость и устойчивость в большом просто совпадают, как это было и для стационарных ЛА.

По аналогии с определением 13.5 для стационарных ЛА можно ввести понятие $\varepsilon$ -СП для нестационарного ЛА.

Среди всего множества НЛА рассмотрим далее такой класс НЛА, у которых характеристические матрицы A(t) являются периодическими (с периодом $\lambda$ ), т. е. для них выполняется равенство $A(t+\lambda)=A(t)$ , где $\lambda$ - целое положительное число. Построим стационарный ЛА $\tilde A_c$ , согласованный с НЛА $\tilde A$ , задав функцию переходов ЛА $\tilde A_c$ следующим образом:

$\tilde s(t+1)=\hat A \tilde s(t)$

где $\hat A=A(\lambda -1)A(\lambda -2) \dots A(0)$ . Напомним [68], что спектральным радиусом $\rho (A)$ матрицы называют число $\rho (A)=max \{|\lambda |; \lambda$ - собственные значения матрицы $A\}$ .

Теорема 13.6. Для того чтобы периодический НЛА $\tilde A$ с ограниченным множеством $Init(\tilde A)$ допустимых начальных состояний имел $\varepsilon$ -СП, достаточно, чтобы при любом выполнялось неравенство

$\rho (A) <1$

( 13.9)

Доказательство. Как следует из определения $\varepsilon$ -СП, ее существование равносильно выполнению неравенства

$\lim_{t \to \infty}|\bar {s^f}(0), \hat u(ty))-\bar {s^f}(\bar {s^2}(0), \hat u(t))=0|$

( 13.10)

Здесь использованы те же обозначения, что и в определении 13.5. Если матрица A(t) периодическая, то по индукции можно показать, что формула (1.7) примет вид

$\bar s(t+1)=A(t-\mu [t\ \mu])A(t-\mu [t\ \mu]-1) \dots A(0)\hat A\bar s(0)+A(t-\mu [t\ \mu])\dots\\ \dots A(1) \hat A^{[t\ \mu]}B(0)\bar u(0)+\dots +A(t)B(t-1)\bar u(t-1)+B(t)\bar u(t),$

( 13.11)

где $[t\ \mu]$ - целая часть числа $t\ \mu$ .

Из (13.11) следует, что (13.10) эквивалентно соответственно

$\lim_{t \to \infty}|A(t-\mu [t\ \mu])\dots A(0)\hat A^{[t\ \mu]}(\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0)|=0$

( 13.12)

Согласно лемме 5.6.10 из [68], существует по крайней мере одна матричная форма, для которой справедливы оценки $\rho (A) \le \|A\| \le \rho (A)+ \varepsilon$ при заданном $\varepsilon$ . Отсюда следует, что

$\|\hat A\|=\|A(\mu-1)\dota a(0)\| \le \|A(\mu -1)\|\dots \|A(0)\| \le \Pi_{i=1}^{\mu -1}(\rho (A_i)+ \varepsilon_i)$

Поскольку по условиям теоремы $\rho (A(i))<1$ для $i=\overline {1, \mu}$ , при соответствующем выборе величин $\varepsilon_i$ каждый из сомножителей в правой части последнего неравенства, а следовательно, и вся его правая часть, может быть сделана меньше единицы. Из этого следует (см. лемму 5.6.11 из [68]), что

$\lim_{t \to \infty}\hat A^k=[0]$

т. е. все элементы матрицы $\hat A^k$ стремятся к нулю при $k \to \infty$ .

Условимся говорить, что матрица не превосходит матрицу ( и имеют одинаковую размерность), и писать $G \le H$ , если каждый элемент матрицы не превосходит соответствующего элемента матрицы . Положим

$M=max_{1 \le m \le \mu}|q_{ij}^{(m)}|, i,j=\overline {1,n}$

где $q_{ij}^{(m)}$ - элементы матрицы $A(m-1)A(m-2) \dots A(0)$ . Тогда при любом

$A(t -\mu [t\ \mu ]) \dots A(0)\hat A^{[t\ \mu]}(\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0)) \le D(M) \hat A^{[t\ \mu]}(\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0))$

( 13.14)

На основании (13.13) и (13.14) и того факта, что длина вектора $\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0)$ ограничена в силу ограниченности $|\bar {s^1}|$ и $|\bar {s^2}|$ согласно условиям теоремы, вытекает справедливость (13.12).

Следствие. Для периодического НЛА $\tilde A$ , у которого при любом спектральный радиус матрицы A(t) меньше 1, а множество $Init(\tilde A)$ ограничено, любая бесконечная входная последовательность $\{\tilde u(t)\}$ является $\varepsilon$ -синхронизирующей.

Можно показать, что по аналогии со стационарными ЛА для нестационарных ЛА при выполнении условий теоремы 13.6 понятие $\varepsilon$ -синхронизируемости и асимптотической устойчивости равнозначны.

Заметим, наконец, что решение задачи о переводе НЛА в заданное синхросостояние можно осуществить тем же самым методом, что описан для стационарного ЛА.

Вопросы и упражнения

Дайте определения состояния равновесия и асимптотически устойчивого состояния свободного ЛА.
Какова связь между синхронизируемостью ЛА и асимптотической устойчивостью состояний?
Приведите постановку задачи стабилизации ЛА.
Всегда ли разрешима эта задача для ЛА с парой ее невырожденных характеристических матриц?
Дайте определение $\varepsilon$ -синхронизирующей последовательности для дискретной линейной системы над полем R и поясните ее содержательный смысл.
Сформулируйте достаточное условие существования $\varepsilon$ -синхронизирующей последовательности для дискретной линейной системы над полем R.
Дайте определение синхросостояния дискретной линейной системы.
Опишите метод решения задачи поиска входной последовательности, переводящей ДЛС из любого состояния в $\varepsilon$ -окрестность состояний и выходов ЛА.

Дальше >>

Теория экспериментов с конечными автоматами

Теория экспериментов с конечными автоматами

Синхронизация и устойчивость дискретных линейных систем

Вопросы и упражнения

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Теория экспериментов с конечными автоматами

Теория экспериментов с конечными автоматами

Синхронизация и устойчивость дискретных линейных систем

Вопросы и упражнения

Вопросы и ответы

Студенты