НОУ ИНТУИТ | Теория экспериментов с конечными автоматами. Лекция 10: Синхронизирующие эксперименты с линейными автоматами

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 17.02.2011 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 3 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Условия существования синхронизирующей последовательности

Приведенное выше определение СП применительно к ЛА формулируется следующим образом: входную последовательность $\bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(k-1)$ ЛА назовем СП, если

$\forall \bar {s_i}(0), \bar {s_j}(0) \in S_n\\ A^k \bar {s_i}(0)+A^{k-1}B\bar u(0)+ \dots +B \bar u(k-1)=A^k \bar {s_j}(0)+A^{k-1}B\bar u(0)+ \dots +B \bar u(k-1)$

( 10.9)

Перенося в (10.9) правую часть равенства влево, получим

$\forall \bar {s_j}(0), \bar {s_j}(0) \in S_n A^k(\bar {s_i}(0)-\bar {s_j}(0))=[0]$

( 10.10)

Символом [0] здесь и далее обозначается нулевая матрица или нулевой вектор подходящей размерности.

Поскольку в (10.10) $\bar {s_i}(0)$ и $\bar {s_j}(0)$ есть произвольные состояния, то (10.10) эквивалентно предикату

$\forall \bar s \in S_n A^k \bar s=[0]$

( 10.11)

Теорема 10.1. Для того чтобы ЛА имел СП длины , необходимо и достаточно, чтобы А^k=[0] .

Доказательство. Соотношение

$A^k\bar s=[0]$

( 10.12)

можно интерпретировать как систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно переменных $s_1, s_2,\dots , s_n$ , являющихся координатами вектор-столбца $\bar s$ . Пусть ранг матрицы А^k равен , где $r \le n$ . Из алгебры известно, что в этом случае число свободных неизвестных $s_{r+1}, s_{r+2},\dots, s_n$ в системе (10.12) равно n-r . Тогда переменные $s_1 , s_2,\dots, s_r$ будут выражаться через свободные переменные и, следовательно, число решений системы равно $р^{n-r}$ . Поскольку СП для ЛА существует тогда и только тогда, когда решением системы (10.12) является любой вектор $\bar s \in S_n$ , где |S_n|=p^n , то из сравнения p^n и $p^{n-r}$ вытекает, что должно равняться нулю, т. е. ранг матрицы А^k равен 0. Из последнего равенства следует, что А^k =[0] .

Определение 10.4. Линейный автомат будем называть синхронизируемым, если у него существует СП.

Из теоремы 10.1 вытекает следующее следствие.

Следствие. Для того чтобы ЛА был синхронизируем, необходимо, чтобы его главная характеристическая матрица А была вырожденной.

Доказательство. Пусть ЛА синхронизируем, тогда существует такое целое , что А^k = [0] . Это означает, что матрица А^k является вырожденной. Из алгебры известно, что определитель произведения матриц равен произведению определителей. Отсюда следует, что |A^k| = |A|^k , где |A^k| и |A| - определители матриц A^k и соответственно. Поскольку А^k = [0] , то |A^k| = 0 , но , следовательно |A|^k= 0 .Отсюда следует, что |A| = 0 , т. е. матрица является вырожденной.

Теорема 10.2. Если для ЛА существует хотя бы одна СП длины , то для этого автомата синхронизирующими являются любые входные последовательности длины и более.

Доказательство. Из теоремы 10.1 следует, что для ЛА, имеющего СП $\bar u(0), bar u(1), \dots, \bar u(k-1)$ длины , конечное состояние ЛА после подачи СП выражается по формуле (10.3) следующим образом:

$\bar s(k)=A^{k-1}B\bar u(0)+A^{k-2}B\bar u(1)+ \dots +AB \bar u(k-2)+B \bar u (k-1)$

( 10.13)

Поскольку правая часть последнего равенства не зависит от начального состояния $\bar s(0)$ ЛА, это означает, что при любом начальном состоянии некоторая фиксированная входная последовательность $\bar u(0), bar u(1), \dots, \bar u(k-1)$ переводит ЛА в одно и то же конечное состояние. Этот факт остается справедливым и для любой другой фиксированной входной последовательности. Иными словами, любая входная последовательность длины является для этого ЛА синхронизирующей. Ясно, что и любая входная последовательность большей длины также будет синхронизирующей.

Заметим, что последняя теорема свидетельствует о принципиальном различии между общими автоматами Мили и линейными автоматами с точки зрения возможности их синхронизации. Если для некоторого автомата Мили СП длины существует, то общее их число может быть невелико. В частности, автомат Мили может иметь одну единственную СП. В то же время для ЛА существование одной СП длины автоматически влечет существование p^k СП такой же длины.

Обратимся теперь к вопросу о том, как практически установить существование у заданного ЛА СП и если таковая существует, то как найти длину минимальной СП. Из теории автоматов известно, что установочная задача для автомата с $\nu$ состояниями и с $\nu$ допустимыми начальными состояниями всегда может быть решена с помощью простого безусловного эксперимента длины , где $l \le (\nu -1)^2$ . Задача синхронизации автомата является, очевидно, частным случаем установочной задачи. Используя этот факт, для установления факта существования СП необходимо вычислять последовательно степени А^k главной характеристической матрицы ЛА для $k = 1, 2, \dots$ , до тех пор, пока на очередном шаге она не выродится в нулевую. Очевидно, что наименьшее целое k такое, для которого А^k=[0] , равно длине минимальной СП. Если же в процессе вычисления окажется, что $А^k \ne [0]$ при $k = (\nu-1)^2$ , где $\nu = 2^n, n$ - размерность ЛА, то СП для этого ЛА не существует и на этом процесс вычисления степеней матриц прекращается.

Упомянутая выше верхняя граница длины минимальной СП, равная величине (2^n-1)^2 , достаточно велика. Укажем один частный вид ЛА, для которого эта верхняя граница существенно ниже.

Назовем квадратную матрицу верхней (нижней) треугольной, если все ее элементы, лежащие на главной диагонали и ниже (выше) нее, равны нулю.

Теорема 10.3. Если главная характеристическая матрица ЛА размерности n является верхней (нижней) треугольной, то длина минимальной СП для этого ЛА не превосходит .

Доказательство. Проведем его для верхней треугольной матрицы, которую обозначим через А:

$\left [ \begin {matrix} 0&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1, n-1}&a_{1,n}\\ 0&0&a_{23}& \dots &a_{2,n-1}& a_{2,n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ 0& 0& 0& \dots & a_{n-2, n-1}& a_{n-2,n}\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & a_{n-1, n}\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \end {matrix} \right ]$

Условимся нумеровать диагонали матрицы, параллельные ее главной диагонали и расположенные выше нее, в порядке убывания числа элементов в них. Тогда диагональ, содержащая элементы $a_{12}, a_{23}, \dots, a_{n-2,n-1}, a_{n-1,n}$ , получит номер 1, а диагональ, содержащая единственный элемент $a_{1n}$ , - номер n-1 . Непосредственными вычислениями можно убедиться, что в матрице А^2 все элементы первой диагонали равны 0, в матрице А^3 все элементы первой и второй диагонали также равны 0. Методом индукции можно доказать, что в матрице А^k наряду с ее нулевой нижней треугольной подматрицей диагонали с номерами $1, 2,\dots , k-1$ также содержат только нули. Из последнего утверждения следует, что по крайней мере в матрице А^n все элементы равны 0. Тогда на основании теоремы 10.1 рассматриваемый ЛА имеет СП, длина которой не превосходит .

Для нижней треугольной матрицы соответствующее утверждение доказывается аналогично.

Ниже будет показано, что в действительности длина минимальной СП не превосходит для произвольного синхронизируемого ЛА размерности , а не только для частного вида ЛА, фигурирующего в теореме 10.3.

Состояние ЛА А, в котором он оказывается после подачи некоторой его СП, назовем синхросостоянием.

Обозначим через $\Synh (A)$ множество всех возможных синхросостояний ЛА. Ясно, что в общем случае попарно различные СП могут переводить ЛА как в различные, так и в совпадающие синхросостояния, т. е. $|\Synh(A)| \le p^n$ .

Рассмотрим следующую задачу. Пусть задан синхронизируемый ЛА , синхросостояние $\bar s \in \Synh(A)$ и пусть - длина минимальной СП этого автомата. Требуется найти такую входную последовательность длины , которая переводит ЛА в синхросостояние $\bar s$ .

Для рассматриваемого ЛА выражение (10.13) можно переписать в виде

$A^{k-1}B\bar u(0) +A^{k-1} B \bar u(1)+\dots + AB\bar u(k-2)+ B \bar u(k-1)= \bar s$

( 10.14)

Далее (10.14) будем рассматривать как СЛАУ (неоднородных) относительно неизвестных $u_1(0), \dots, u_l(0), \dots, u_1(k-1), \dots, u_l(k-1)$ , общее число которых равно $l \times k$ .

Пусть $Q = [q_{ij}]_{n x lk}$ есть матрица системы (10.14), а $\bar Q$ есть расширенная (добавлением к матрице столбца $\bar s$ ) матрица той же системы и $\rank Q = r$ . Необходимым и достаточным условием совместности системы (10.14) является, как известно из алгебры, условие rank $Q = \rank \bar Q$ (теорема Кронекера - Капелли). Понятно, что для выполнения этого условия вектор-столбец $\bar s$ должен быть линейной комбинацией линейно независимых столбцов матрицы . Иными словами, только для вектор-столбцов $\bar s$ , представляющих собой такие комбинации, соответствующая СП может быть найдена. Ясно, что если для некоторого $\bar s$ система (10.14) оказывается несовместной, это означает, что заданное $\bar s$ не принадлежит множеству синхросостояний $\Synh(A)$ .

Напомним, как могут быть найдены решения системы (10.14) в случае ее совместности. С этой целью выберем в матрице Q r линейно независимых строк и в (10.14) оставим лишь те уравнения, коэффициенты которых вошли в выбранные строки. В левых частях этих уравнений оставляем такие неизвестных, что определитель из коэффициентов при них отличен от нуля. Остальные неизвестные в этих уравнениях объявляем свободными и переносим в правые части уравнений. Варьируя значения свободных переменных (все они являются элементами поля GF(p) ) и вычисляя значения остальных неизвестных (например, по правилу Крамера), получим все решения системы (10.14).

Проиллюстрируем сказанное на примере. Пусть ЛА над полем GF(2) задан характеристическими матрицами:

$A= \left [ \begin {matrix} 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& 0 \end {matrix} \right ],\\ b= \left [ \begin {matrix} 1& 1\\ 1& 1\\ 1& 1\\ 1&1 \end {matrix} \right ]$

где n = 4, l = 2 , тогда $\bar u=[u_1, u_2]'$ .

По теореме 10.3 этот ЛА синхронизируем и длина его минимальной СП равна 4. Система (10.14) в нашем случае в матричной форме имеет вид

$A^3B\bar u(0)+ A^2B(1)+AB\bar u(2)+B\bar u(3)= \bar s$

( 10.15)

Вычислим матрицы A^3 B, A^2 B, AB :

$A^3B= \left [ \begin {matrix} 0&0\\ 0&0\\ 0&0\\ 1&1 \end {matrix} \right ],\\ A^2B= \left [ \begin {matrix} 0&0\\ 0&0\\ 1&1\\ 1&1 \end {matrix} \right ],\\ AB= \left [ \begin {matrix} 0&0\\ 1&1\\ 0&0\\ 1&1 \end {matrix} \right ]$

Используя эти матрицы, перепишем систему уравнений (10.15) в координатной форме, где неизвестными являются u_1(0), u_2(0), u_1(1), u_2(1), u_1(2), u_2(2), u_1(3), u_2(3) - координаты векторов $\bar u(0), bar u(1), \bar u(2), \bar u(3)$ :

$u_1(3) + u_2(3) = s_1,\\ u_1(2) + u_2(2) + u_1(3) + u_2(3) = s_2, \\ u_1(1) + u_2(1) + u_1(3) + u_2(3) = s_3,\\ u_1(0) + u_2(0) + u_1(1) + u_2(1) + u_1(2) + u_2(2) + u_1(3) + u_2(3) = s_4.$

( 10.16)

Здесь s_1, s_2, s_3, s_4 есть координаты вектора $\bar s$ .

Матрица этой системы имеет вид

$Q= \left \{ \begin {matrix} 0&0&0&0&0&0&1&1\\ 0&0&0&0&1&1&1&1\\ 0&0&1&1&0&0&1&1\\ 1&1&1&1&1&1&1&1 \end {matrix} \right \}$

Вычисления показывают, что $\rank Q = 4$ . Перенумеруем столбцы матрицы слева направо начиная с 1. Выберем в четыре линейно независимых столбца, например, с номерами 1, 3, 5, 7, которым соответствуют неизвестные u_1(0), u_1(1), u_1(2), u_1(3) . Легко проверить, что определитель, составленный из названных столбцов, отличен от нуля. Оставим эти перечисленные неизвестные в левых частях уравнений системы (10.16), а остальные переменные объявим свободными и перенесем в правые части уравнений:

$u_1(3 ) = u_2(3) + s_1,\\ u _1(2) + u_1(3) = u_2(2) + u_2(3) + s_2,\\ u _1(1) + u_1(3) = u_2(1) + u_2(3) + s_3,\\ u_1(0) + u_1(1) + u_1(2) + u_1(3) = u_2(0) + u_2(1) + u_2(2) + u_2(3) +s_4.$

После простых и очевидных преобразований последняя система примет вид

$u_1(3 ) = u_2(3) + s_1,\\ u_1(2) = u_2(2) + s_1 + s_2,\\ u_1(1) = u_2(1) + s_1 + s_3,\\ u_1(0) = u_2(0) + s_1 + s_2 + s_3 + s_4.$

( 10.17)

Выберем, например, состояние $\bar s = (1,1,1,1)'$ и проверим, является ли оно синхросостоянием. Если да, то найдем минимальную по длине СП, переводящую заданный ЛА в это синхросостояние. Условимся также среди всех минимальных по длине СП найти такую, которая имеет минимальный вес. Весом СП назовем число, которое равно сумме координат входных символов, составляющих эту СП.

Поскольку в нашем примере s_1 = s_2 = s_3 = s_4 = 1 , то система (10.17) примет вид:

u_1(3) = u_2(3) +1; u_1(2) = u_2(2) ; u_1(1) = u_2(1) ; u_1(0) = u_2(0).

Для получения искомой СП минимального веса положим u_2(3), u_2(2), u_2(1), u_2(0) равными нулю. Тогда искомая СП, переводящая заданный ЛА из любого состояния в состояние (1,1,1,1)' , такова: (0,0)', (0,0)', (0,0)', (1,0)' .

Вопросы и упражнения

Опишите состав и устройство линейного автомата.
Приведите системы уравнений состояний и выходов, описывающих функционирование стационарных (нестационарных) линейных автоматов.
Приведите формулы для определения конечного состояния и реакции стационарного (нестационарного) линейного автомата при подаче на него последовательности входных символов.
Дайте определения синхронизирующих, установочных и диагностических последовательностей и поясните их содержательный смысл.
Сформулируйте критерий существования синхронизирующих последовательностей для стационарных линейных автоматов.
Охарактеризуйте свойства синхронизирующих последовательностей.
Сформулируйте постановку задачи перевода линейного автомата в заданное синхросостояние.
Опишите метод решения задачи перевода линейного автомата в заданное синхросостояние.
ЛА над полем задан следующими характеристическими матрицами:

$A= \begin {pmatrix} 0& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 1 \end {pmatrix},\\ b= \begin {pmatrix} 0& 1\\ 1& 0\\ 1& 1 \end {pmatrix},\\ C= \begin {pmatrix} 0& 1&0\\ 0&0&1 \end {pmatrix}, D= \begin {pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end {pmatrix}$
Требуется проверить, существует ли для этого ЛА синхронизирующая (установочная, диагностическая) последовательность.
ЛА над полем имеет следующие характеристические матрицы:

$A= \begin {pmatrix} 0&0&0\\ 1&0&0\\ 1&1&0 \end {pmatrix}, B= \begin {pmatrix} 1&0\\ 0&1\\ 1&1 \end {pmatrix}$
Покажите, что этот ЛА является синхронизируемым и найдите длину минимальной СП.

Проверьте, является ли состояние этого ЛА синхросостоянием, и если да, то найдите минимальную СП, переводящую ЛА в это состояние.