Россия |
Синхронизирующие эксперименты с линейными автоматами
Условия существования синхронизирующей последовательности
Приведенное выше определение СП применительно к ЛА формулируется следующим образом: входную последовательность ЛА
назовем СП, если
![]() |
( 10.9) |
Перенося в (10.9) правую часть равенства влево, получим
![]() |
( 10.10) |
Символом [0] здесь и далее обозначается нулевая матрица или нулевой вектор подходящей размерности.
Поскольку в (10.10) и
есть произвольные состояния, то (10.10) эквивалентно предикату
![]() |
( 10.11) |
Теорема 10.1. Для того чтобы ЛА имел СП длины
, необходимо и достаточно, чтобы
.
Доказательство. Соотношение
![]() |
( 10.12) |
можно интерпретировать как систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно переменных , являющихся координатами вектор-столбца
. Пусть ранг матрицы
равен
, где
. Из алгебры известно, что в этом случае число свободных неизвестных
в системе (10.12) равно
. Тогда переменные
будут выражаться через свободные переменные и, следовательно, число решений системы равно
. Поскольку СП для ЛА существует тогда и только тогда, когда решением системы (10.12) является любой вектор
, где
, то из сравнения
и
вытекает, что
должно равняться нулю, т. е. ранг матрицы
равен 0. Из последнего равенства следует, что
.
Определение 10.4. Линейный автомат будем называть синхронизируемым, если у него существует СП.
Из теоремы 10.1 вытекает следующее следствие.
Следствие. Для того чтобы ЛА был синхронизируем, необходимо, чтобы его главная характеристическая матрица А была вырожденной.
Доказательство. Пусть ЛА синхронизируем, тогда существует такое целое , что
. Это означает, что матрица
является вырожденной. Из алгебры известно, что определитель произведения матриц равен произведению определителей. Отсюда следует, что
, где
и
- определители матриц
и
соответственно. Поскольку
, то
, но
, следовательно
.Отсюда следует, что
, т. е. матрица
является вырожденной.
Теорема 10.2. Если для ЛА существует хотя бы одна СП длины
, то для этого автомата синхронизирующими являются любые входные последовательности длины
и более.
Доказательство. Из теоремы 10.1 следует, что для ЛА, имеющего СП длины
, конечное состояние ЛА после подачи СП выражается по формуле (10.3) следующим образом:
![]() |
( 10.13) |
Поскольку правая часть последнего равенства не зависит от начального состояния ЛА, это означает, что при любом начальном состоянии некоторая фиксированная входная последовательность
переводит ЛА в одно и то же конечное состояние. Этот факт остается справедливым и для любой другой фиксированной входной последовательности. Иными словами, любая входная последовательность длины
является для этого ЛА синхронизирующей. Ясно, что и любая входная последовательность большей длины также будет синхронизирующей.
Заметим, что последняя теорема свидетельствует о принципиальном различии между общими автоматами Мили и линейными автоматами с точки зрения возможности их синхронизации. Если для некоторого автомата Мили СП длины существует, то общее их число может быть невелико. В частности, автомат Мили может иметь одну единственную СП. В то же время для ЛА существование одной СП длины
автоматически влечет существование
СП такой же длины.
Обратимся теперь к вопросу о том, как практически установить существование у заданного ЛА СП и если таковая существует, то как найти длину минимальной СП. Из теории автоматов известно, что установочная задача для автомата с состояниями и с
допустимыми начальными состояниями всегда может быть решена с помощью простого безусловного эксперимента длины
, где
. Задача синхронизации автомата является, очевидно, частным случаем установочной задачи. Используя этот факт, для установления факта существования СП необходимо вычислять последовательно степени
главной характеристической матрицы ЛА для
, до тех пор, пока на очередном шаге она не выродится в нулевую. Очевидно, что наименьшее целое k такое, для которого
, равно длине минимальной СП. Если же в процессе вычисления окажется, что
при
, где
- размерность ЛА, то СП для этого ЛА не существует и на этом процесс вычисления степеней матриц прекращается.
Упомянутая выше верхняя граница длины минимальной СП, равная величине , достаточно велика. Укажем один частный вид ЛА, для которого эта верхняя граница существенно ниже.
Назовем квадратную матрицу верхней (нижней) треугольной, если все ее элементы, лежащие на главной диагонали и ниже (выше) нее, равны нулю.
Теорема 10.3. Если главная характеристическая матрица ЛА размерности n является верхней (нижней) треугольной, то длина минимальной СП для этого ЛА не превосходит .
Доказательство. Проведем его для верхней треугольной матрицы, которую обозначим через А:
![\left [
\begin {matrix}
0&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1, n-1}&a_{1,n}\\
0&0&a_{23}& \dots &a_{2,n-1}& a_{2,n}\\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\
0& 0& 0& \dots & a_{n-2, n-1}& a_{n-2,n}\\
0 & 0 & 0 & \dots & 0 & a_{n-1, n}\\
0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0
\end {matrix}
\right ]](/sites/default/files/tex_cache/836f12c371b896d2c6c13bb87d8f2d4a.png)
Условимся нумеровать диагонали матрицы, параллельные ее главной диагонали и расположенные выше нее, в порядке убывания числа элементов в них. Тогда диагональ, содержащая элементы , получит номер 1, а диагональ, содержащая единственный элемент
, - номер
. Непосредственными вычислениями можно убедиться, что в матрице
все элементы первой диагонали равны 0, в матрице
все элементы первой и второй диагонали также равны 0. Методом индукции можно доказать, что в матрице
наряду с ее нулевой нижней треугольной подматрицей диагонали с номерами
также содержат только нули. Из последнего утверждения следует, что по крайней мере в матрице
все элементы равны 0. Тогда на основании теоремы 10.1 рассматриваемый ЛА имеет СП, длина которой не превосходит
.
Для нижней треугольной матрицы соответствующее утверждение доказывается аналогично.
Ниже будет показано, что в действительности длина минимальной СП не превосходит для произвольного синхронизируемого ЛА размерности
, а не только для частного вида ЛА, фигурирующего в теореме 10.3.
Состояние ЛА А, в котором он оказывается после подачи некоторой его СП, назовем синхросостоянием.
Обозначим через множество всех возможных синхросостояний ЛА. Ясно, что в общем случае попарно различные СП могут переводить ЛА как в различные, так и в совпадающие синхросостояния, т. е.
.
Рассмотрим следующую задачу. Пусть задан синхронизируемый ЛА , синхросостояние
и пусть
- длина минимальной СП этого автомата. Требуется найти такую входную последовательность длины
, которая переводит ЛА
в синхросостояние
.
Для рассматриваемого ЛА выражение (10.13) можно переписать в виде
![]() |
( 10.14) |
Далее (10.14) будем рассматривать как СЛАУ (неоднородных) относительно неизвестных , общее число которых равно
.
Пусть есть матрица системы (10.14), а
есть расширенная (добавлением к матрице
столбца
) матрица той же системы и
. Необходимым и достаточным условием совместности системы (10.14) является, как известно из алгебры, условие rank
(теорема Кронекера - Капелли). Понятно, что для выполнения этого условия вектор-столбец
должен быть линейной комбинацией
линейно независимых столбцов матрицы
. Иными словами, только для вектор-столбцов
, представляющих собой такие комбинации, соответствующая СП может быть найдена. Ясно, что если для некоторого
система (10.14) оказывается несовместной, это означает, что заданное
не принадлежит множеству синхросостояний
.
Напомним, как могут быть найдены решения системы (10.14) в случае ее совместности. С этой целью выберем в матрице линейно независимых строк и в (10.14) оставим лишь те уравнения, коэффициенты которых вошли в выбранные строки. В левых частях этих уравнений оставляем такие
неизвестных, что определитель из коэффициентов при них отличен от нуля. Остальные неизвестные в этих уравнениях объявляем свободными и переносим в правые части уравнений. Варьируя значения свободных переменных (все они являются элементами поля
) и вычисляя значения остальных неизвестных (например, по правилу Крамера), получим все решения системы (10.14).
Проиллюстрируем сказанное на примере. Пусть ЛА над полем задан характеристическими матрицами:
![A=
\left [
\begin {matrix}
0& 0& 0& 0\\
1& 0& 0& 0\\
1& 1& 0& 0\\
1& 1& 1& 0
\end {matrix}
\right ],\\
b=
\left [
\begin {matrix}
1& 1\\
1& 1\\
1& 1\\
1&1
\end {matrix}
\right ]](/sites/default/files/tex_cache/b89b38f06fada8be0cc273cac84ff186.png)
где , тогда
.
По теореме 10.3 этот ЛА синхронизируем и длина его минимальной СП равна 4. Система (10.14) в нашем случае в матричной форме имеет вид
![]() |
( 10.15) |
Вычислим матрицы :
![A^3B=
\left [
\begin {matrix}
0&0\\
0&0\\
0&0\\
1&1
\end {matrix}
\right ],\\
A^2B=
\left [
\begin {matrix}
0&0\\
0&0\\
1&1\\
1&1
\end {matrix}
\right ],\\
AB=
\left [
\begin {matrix}
0&0\\
1&1\\
0&0\\
1&1
\end {matrix}
\right ]](/sites/default/files/tex_cache/9652ea011d710e18c09915432dc6a682.png)
Используя эти матрицы, перепишем систему уравнений (10.15) в координатной форме, где неизвестными являются - координаты векторов
:
![]() |
( 10.16) |
Здесь есть координаты вектора
.
Матрица этой системы имеет вид

Вычисления показывают, что . Перенумеруем столбцы матрицы
слева направо начиная с 1. Выберем в
четыре линейно независимых столбца, например, с номерами 1, 3, 5, 7, которым соответствуют неизвестные
. Легко проверить, что определитель, составленный из названных столбцов, отличен от нуля. Оставим эти перечисленные неизвестные в левых частях уравнений системы (10.16), а остальные переменные объявим свободными и перенесем в правые части уравнений:

После простых и очевидных преобразований последняя система примет вид
![]() |
( 10.17) |
Выберем, например, состояние и проверим, является ли оно синхросостоянием. Если да, то найдем минимальную по длине СП, переводящую заданный ЛА в это синхросостояние. Условимся также среди всех минимальных по длине СП найти такую, которая имеет минимальный вес. Весом СП назовем число, которое равно сумме координат входных символов, составляющих эту СП.
Поскольку в нашем примере , то система (10.17) примет вид:

Для получения искомой СП минимального веса положим равными нулю. Тогда искомая СП, переводящая заданный ЛА из любого состояния в состояние
, такова:
.
Вопросы и упражнения
- Опишите состав и устройство линейного автомата.
- Приведите системы уравнений состояний и выходов, описывающих функционирование стационарных (нестационарных) линейных автоматов.
- Приведите формулы для определения конечного состояния и реакции стационарного (нестационарного) линейного автомата при подаче на него последовательности входных символов.
- Дайте определения синхронизирующих, установочных и диагностических последовательностей и поясните их содержательный смысл.
- Сформулируйте критерий существования синхронизирующих последовательностей для стационарных линейных автоматов.
- Охарактеризуйте свойства синхронизирующих последовательностей.
- Сформулируйте постановку задачи перевода линейного автомата в заданное синхросостояние.
- Опишите метод решения задачи перевода линейного автомата в заданное синхросостояние.
-
ЛА над полем
задан следующими характеристическими матрицами:
Требуется проверить, существует ли для этого ЛА синхронизирующая (установочная, диагностическая) последовательность.
-
ЛА над полем
имеет следующие характеристические матрицы:
Покажите, что этот ЛА является синхронизируемым и найдите длину минимальной СП.
Проверьте, является ли состояние
этого ЛА синхросостоянием, и если да, то найдите минимальную СП, переводящую ЛА в это состояние.