НОУ ИНТУИТ | Основы теории нечетких множеств. Лекция 14: Алгоритмы нечеткого контроля и управления

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.07.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 36 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

В общем случае динамику дискретных систем можно представить уравнением состояния:

$x_{k + 1} = F(x_k ,u_k )\quad k = 0,\ldots,N,\quad x_k \in X,\quad u_k \in U,$

где

— пространство состояний,

— множество допустимых управлений,

— переходная функция состояния, в общем случае нелинейная $F\colon X\times U\to X$ .

Эта система является детерминированной, если в любой момент времени можно однозначно определить ее новое состояние для момента времени (k+1) по текущему состоянию l и управлению $u_{k}$ .

Для стохастических систем переходная функция записывается в виде

$F\colon X\times U\to XP,$

где

— множество распределений вероятности на

. Для учета неопределенностей в модель могут вводиться случайные величины или коэффициенты. Однако для подобных моделей необходимо иметь информацию для построения вероятностных распределений.

Не полностью определенные процессы можно моделировать с помощью аппарата нечетких множеств. Коэффициенты и некоторые величины могут быть заданы в виде функций принадлежности. Тогда динамика системы описывается нечетким отношением

$F\colon X\times U\times X\to [0,1],$

представляющим собой нечеткое подмножество декартова произведения $X\times U\times X$ .

Величина $F(x_{k}, u_{k}, x_{k+1})$ рассматривается как интенсивность перехода или, точнее, как степень принадлежности элемента $x_{k+1}$ образу пары $(x_{k}, u_{k})$ при отображении , т.е. основной характеристикой системы является функция принадлежности $\mu(x_{k+1} | x_{k}, u_{k})$ .

Используя понятие нечеткого отношения, можно ввести следующие пути определения функции :

1. Когда отсутствует модель процесса и имеется лишь лингвистическое описание желаемого поведения системы вида "если давление газа очень большое, то значительно увеличить расход". Подобные выражения дают информацию о том, что должно произойти в системе при поступлении на ее вход управляющих воздействий в форме нечетких множеств, определенных на универсальных множествах "давление газа" и "расход". Тогда нечеткое условное высказывание есть нечеткое отношение, которое определяется как

$F(x,u) = \min (\mu (x),\lambda (x));\quad \mu\colon X \to [0,1];\quad \lambda\colon X \to [0,1].$

Если будет являться нечеткой функцией, то состояние нечеткой системы в момент времени (k+1) есть условное по $x_{k}$ и $u_{k}$ нечеткое множество, характеризуемое функцией принадлежности $(x_{k+1} | x_{k}, u_{k})$ .

2. Возможно использование имеющейся модели системы для задания функции . Рассмотрим вначале случай свободной динамики системы и построим рекуррентную процедуру оценки состояния динамической системы в нечетких условиях.

На практике ситуация усложняется частичным или полным отсутствием информации о статистических характеристиках шумов. Поэтому предлагается для решения задачи оценивания применять теорию нечетких множеств.

Рассмотрим нелинейную динамическую систему с дискретным временем:

$x_{k+1}=F_{k} (x_{k}, w-k),\quad k=1,2,\ldots,$

для которой измерение и состояние системы связаны соотношением

$z_{k} = H_{k} (x_{k} ,v_{k}).$

В этих уравнениях:

индекс соответствует -му моменту времени;
$F_{k}$ , $H_{k}$ — нелинейные функции соответствующих аргументов;
$x_{k}$ — состояние динамической системы,
$w_{k}$ — нечеткая помеха, заданная для каждого момента времени -функцией принадлежности $\mu(w_{k})$ ;
$v_{k}$ — ошибка измерения с известной функцией принадлежности $\mu(v_{k})$ .

Предполагается известной и функция принадлежности для начального состояния $\mu(x_{0})$ .

В процессе функционирования системы в общем случае носитель начального нечеткого состояния расширяется. Чтобы уменьшить неопределенность ситуаций при принятии решений, необходимо использовать дополнительную информацию о замерах и исследованиях в системе.

Будем предполагать независимость ошибок измерения, помех и состояния в смысле определения независимости нечетких величин. При заданной условной функции принадлежности $\mu (x_k \;|\;\bar z_k )$ состояния $x_{k}$ и при наличии последовательности измерений $\bar z_k = \{ z_0 ,z_1 ,\ldots,z_k \}$ , наилучшая четкая оценка состояния в момент времени может быть найдена из соотношения

$\mu (x_k^0 ) = \mathop {\max }\limits_{x_k } \;\mu (x_k \;|\;\bar z_k ).$

При наличии известной условной функции принадлежности $\mu (x_{k + 1} \;|\;\bar z_k)$ оптимальная точечная оценка состояния системы в момент (k+1) может быть определена аналогично:

$\mu (x_{k + 1}^0 ) = \mathop {\max }\limits_{x_{k + 1} } \;\mu (x_{k + 1} \;|\;\bar z_k ).$

Поскольку для реальных процессов функции $\;\mu (x_k \;|\;\bar z_k )$ и $\mu (x_{k + 1} \;|\;\bar z_k )$ являются унимодальными, то процедура нахождения максимума довольно проста. Чтобы оценить состояния, выведем рекуррентную процедуру для функции принадлежности $\mu (x_{k + 1} \;|\;\bar z_{k + 1} )$ . На основании определения условной функции принадлежности можно записать, что

$\mu (x_{k + 1} |\bar z_{k + 1} ) = \mu (x_{k + 1} ,\bar z_{k + 1} ) = \mu (x_{k + 1} ,\bar z_k ,z_{k + 1} ),$

где вектор $\bar z_{k + 1}$ представлен в виде $\;\bar z_{k + 1} = \{ \bar z_k ,z_{k + 1} \}$ .

Используя определение $\mu (x_{k + 1} \;|\;\bar z_{k + 1} )$ и уравнение для ошибки измерения, получаем:

$\mu (x_{k + 1} ,\;\bar z_k ,\;z_{k + 1} ) = \mathop {\sup }\limits_{v_{k - H} = H_{k - H}^{ - 1} (x_{k - H} ,z_{k - H} )} \;\mu (v_{k + 1} ,x_{k + 1} ,\bar z_k ).$

Окончательно рекуррентные соотношения для нахождения апостериорной функции принадлежности для нечеткого состояния системы на любом шаге (k+1 ) можно записать следующим образом:

$\left\{ \begin{gathered} \mu (x_{k + 1} |\;\bar z_{k + 1} ) = \mu (x_{k + 1} |\;\bar z_k ) \wedge \mathop {\sup }\limits_{v_{k - H} = H_{k - H}^{ - 1} (x_{k - H} ,z_{k - H} )} \;\mu (v_{k + 1} ); \hfill \\ \mu (x_{k + 1} |\;\bar z_{k + 1} ) = \mathop {\max }\limits_{x_k } \left\{ {\mu (x_{k + 1} |\;\bar z_k ) \wedge \mathop {\sup }\limits_{w_k = F_{k - H}^{ - 1} (x_{k - H} ,x_k )} \;\mu (w_k ,x_k ,\bar z_k )} \right\}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Рассмотрим теперь принципы управления нечеткой динамической системой для функции . Допустим, что на управляющее воздействие $u_{k}$ в каждый момент времени наложены нечеткие ограничения $C_{k}\subset U$ , характеризующиеся функцией принадлежности $\mu _{C_k } (u_k)$ , и также задано начальное состояние $x_{0}$ . Пусть $G_{N}\subset X$ — нечеткая цель, которую необходимо достигнуть в момент времени . Эта цель характеризуется функцией принадлежности $\mu _{G_N } (x)$ .

Оптимальные четкие управляющие воздействия $u_1^0 ,\;u_2^0 ,\ldots,u_{N -1}$ могут быть определены следующим образом:

$\mu _D (u_0^0 ,\ldots,u_{N - 1}^0 ) =\!\! \mathop {\max }\limits_{u_0 ,\ldots,u_{N - 2} } \left\{ {\mu _{C_0 } (u_0 ) {\wedge} \ldots {\wedge} \mu _{C_{N - 2} } (u_{N - 2} ) {\wedge} \mu _{G_{N - 1} } (x_{N - 1} )} \right\}.$

Функция $\mu _{G_{N - 1} } (x_{N - 1} )$ может рассматриваться как функция принадлежности для нечеткой цели в момент времени N-1 , индуцированной конечной целью $G_{N}$ для момента . Зная текущее нечеткое состояние $\mu(x_{k})$ , нечеткое ограничение $\mu _{C_k } (u_k )$ и индуцированную нечеткую цель $\mu _{C_k } (u_k)$ , на момент времени можно найти эффективное четкое управление $u_k^0$ .