НОУ ИНТУИТ | Основы теории нечетких множеств. Лекция 7: Нечеткие числа и операции над ними

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.07.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 35 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Четкие арифметики нечетких треугольных чисел

Вернемся к рассмотрению нечетких треугольных чисел как частного случая нечетких чисел (L-R) -типа, т.е. имеющих вид $(a; \alpha , \beta)$ .

Мы будем строить арифметику $\left\langle {\Re ,\tilde + ,\tilde \cdot } \right\rangle$ , где $\tilde + ,\;\tilde \cdot$ — операции сложения и умножения, определенные на нечетких треугольных числах. В построенной арифметике для каждого элемента будут существовать противоположные и обратные элементы. Поэтому нет никакой необходимости в определении операций вычитания и деления.

Определяя операции сложения и умножения, мы можем вычислять размытость суммы и произведения нечетких треугольных чисел либо по одному алгоритму, либо по разным. Сперва рассмотрим случай, когда размытость суммы и произведения нечетких треугольных чисел вычисляется по одному алгоритму. Определим операции сложения и умножения нечетких треугольных чисел следующим образом:

$(a_1 ;\;\alpha _1 ,\beta _1 )\tilde * (a_2 ;\;\alpha _2 ,\beta _2 ) = (a_1 * a_2 ;\;\alpha _1 {\rm O}\alpha _2 ,\beta _1 {\rm O}\beta _2 ).$

где

— либо сложение, либо умножение,

— некоторая бинарная операция, определенная на множестве неотрицательных действительных чисел.

Опишем, какими свойствами должна обладать операция для того, чтобы сложение и умножение были коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны, а также существовали противоположные и обратные элементы.

Очевидно, что для того, чтобы операция $\tilde *$ была коммутативной и ассоциативной, также должна быть коммутативной и ассоциативной, т.е. удовлетворять следующим условиям:

$\begin{gathered} \alpha \;{\rm O}\beta = \beta \;{\rm O}\alpha , \hfill \\ (\alpha \;{\rm O}\beta )\;{\rm O}\gamma = \alpha \;{\rm O}\;(\beta \;{\rm O}\gamma ). \hfill \\ \end{gathered}$

( 1)

Пусть $0 = \langle a_{0}; \alpha_{0}, \beta_{0}\rangle$ — нечеткий ноль. Очевидно, что его мода $a_{0}$ равна нулю, а коэффициенты размытости $\alpha_{0}$ , и $\beta_{0}$ фиксированные значения. Тогда для любого $\alpha\in R^{+}$ имеем

$\alpha \;{\rm O}\alpha _0 = \alpha _0 \;{\rm O}\alpha = \alpha \;{\rm O}\beta _0 = \beta _0 \;{\rm O}\alpha .$

Для того, чтобы каждое нечеткое число обладало противоположным, необходимо, чтобы для любого $\alpha\in R^{+}$ существовали $\alpha ',\;\beta ' \in R^ +$ , такие, что

$\alpha \;{\rm O}\alpha ' = \alpha '\;{\rm O}\alpha = \alpha _0 \quad \quad \t{\char232}{\kern 1pt} \quad \quad \alpha \;{\rm O}\beta ' = \beta '\;{\rm O}\alpha = \beta _0 .$

Аналогично, если $1 = \langle a_{1}; \alpha_{1}, \beta_{1}\rangle$ — нечеткая единица, то для любого $\alpha\in R^{+}$ имеем

$\alpha \;{\rm O}\alpha _1 = \alpha _1 \;{\rm O}\alpha = \alpha \;{\rm O}\beta _1 = \beta _1 \;{\rm O}\alpha .$

И для любого $\alpha\in R^{+}$ существуют $\alpha '',\;\beta '' \in {\text{R}}^ +$ , такие, что

$\alpha \;{\rm O}\alpha '' = \alpha ''\;{\rm O}\alpha = \alpha _1 \quad \quad \t{\char232}{\kern 1pt} \quad \quad \alpha \;{\rm O}\beta '' = \beta ''\;{\rm O}\alpha = \beta _1 .$

Легко заметить, что алгебраическая система $\langle R^{+},O\rangle$ образует абелеву группу. Следовательно, $\alpha_{0} = \beta_{0} = \alpha_{1} = \beta_{1} = e$ и для любого $\alpha\in R^{+}$ имеем $\alpha ' = \beta ' = \alpha '' = \beta '' = \alpha ^{ - 1}$ .

Для того, чтобы операции $\tilde + ,\;\tilde \cdot$ удовлетворяли условию дистрибутивности, необходимо и достаточно, чтобы для любых $\alpha,\beta,\gamma\in R^{+}$ операция удовлетворяла следующему условию:

$(\alpha \;{\rm O}\beta )\;{\rm O}\;(\alpha \;{\rm O}\gamma ) = \alpha \;{\rm O}\;(\beta \;{\rm O}\gamma ).$

( 2)

Если коммутативна и ассоциативна, то получим

$(\alpha \;{\rm O}\beta )\;{\rm O}\;(\alpha \;{\rm O}\gamma ) = (\alpha \;{\rm O}\alpha )\;{\rm O}\;(\beta \;{\rm O}\gamma ).$

Следовательно, для того, чтобы условие (2) выполнялось, достаточно, чтобы была коммутативна, ассоциативна и идемпотентна, т.е. удовлетворяла условиям (1) и для любого $\alpha\in R^{+}$

$\alpha \;{\rm O}\alpha = \alpha .$

Нетрудно показать, что никакая группа не обладает свойством идемпотентности.

Вывод

Невозможно построить арифметику нечетких треугольных чисел, изоморфную арифметике действительных (четких) чисел, если размытость суммы и произведения нечетких треугольных чисел вычисляется по одному алгоритму.

Теперь рассмотрим случай, когда размытость суммы и произведения определяются по разным алгоритмам. Пусть

$\begin{gathered} (a_1 ;\;\alpha _1 ,\beta _1 )\tilde + (a_2 ;\;\alpha _2 ,\beta _2 ) = (a_1 + a_2 ;\;\alpha _1 \oplus \alpha _2 ,\beta _1 \oplus \beta _2 ), \\ (a_1 ;\;\alpha _1 ,\beta _1 )\tilde \cdot (a_2 ;\;\alpha _2 ,\beta _2 ) = (a_1 \cdot a_2 ;\;\alpha _1 \otimes \alpha _2 ,\beta _1 \otimes \beta _2 ). \end{gathered}$

Очевидно, что если алгебраическая система $\left\langle R^{+},\oplus,\otimes\right\rangle$ удовлетворяет свойствам коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, существования нейтрального и единичного элементов, существования противоположного и обратного элементов, то она образует ассоциативное, коммутативное кольцо с единицей и с делением (т.е. почти поле).

Пример. Рассмотрим поле $\left\langle R,+,\cdot\right\rangle$ действительных чисел. Функция $f(x)=e^{x}$ является взаимно однозначным отображением на $R^{+}$ . Определим операции $\oplus$ и $\otimes$ таким образом, чтобы являлось изоморфизмом соответствующих систем. Очевидно, что должны выполняться следующие равенства:

$\begin{gathered} \alpha \oplus \beta = {\text{f(f}}^{{\text{ - 1}}} (\alpha ) + {\text{f}}^{{\text{ - 1}}} (\beta )), \\ \alpha \otimes \beta = {\text{f(f}}^{{\text{ - 1}}} (\alpha ) \cdot {\text{f}}^{{\text{ - 1}}} (\beta )). \\ \end{gathered}$

Таким образом, мы получим

$\begin{gathered} \alpha \oplus \beta = e^{\ln \alpha + \ln \beta } = \alpha \beta , \\ \alpha \otimes \beta = e^{\ln \alpha \ln \beta } . \\ \end{gathered}$

Нетрудно убедиться, что при таком задании операций размытости арифметика $\Re$ будет коммутативной, ассоциативной и дистрибутивной. Роль нулевого элемента будет выполнять нечеткое треугольное число $0 = \langle0; 1,1\rangle$ ; роль единичного элемента — нечеткое треугольное число $1 = \langle1; e, e\rangle$ . Для произвольного нечеткого треугольного числа $A = \langle a ; \alpha, \beta\rangle$ противоположным числом будет $- {\text{A}} = \langle - {\text{a;}}\;\tfrac{1} {\alpha },\tfrac{1}{\beta } \rangle$ и обратным элементом будет $A^{ - 1} = < \tfrac{1}{a};\;e^{\frac{1}{{\ln \alpha }}} ,e^{\frac{1}{{\ln \beta }}}>$ .

Недостатком этой арифметики является то, что в нее не входят четкие и "получеткие" числа, т.е. числа, у которых хотя бы один из коэффициентов размытости равен нулю. Но этого легко избежать, если доопределить ее, например, следующим образом:

$\alpha = 0\& \beta = 0\quad \Rightarrow \quad \alpha \oplus \beta = \alpha \otimes \beta = 0.$

Заметим, что, варьируя мощность изоморфного поля, мы тем самым варьируем и мощность множества коэффициентов размытости, используемых в данной арифметике.

Дальше >>

Основы теории нечетких множеств

Основы теории нечетких множеств

Нечеткие числа и операции над ними

Четкие арифметики нечетких треугольных чисел

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Основы теории нечетких множеств

Основы теории нечетких множеств

Нечеткие числа и операции над ними

Четкие арифметики нечетких треугольных чисел

Вопросы и ответы

Студенты