НОУ ИНТУИТ | Основы информатики и программирования. Лекция 12: Проект "Компилятор формул"

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 27.09.2006 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный индустриальный университет

|

Вам нравится? Нравится 44 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Грамматики языка правильных арифметических формул

Разобравшись с языком программ стекового калькулятора, на который мы будем осуществлять перевод, попробуем теперь формально описать язык правильных арифметических формул, с которого этот перевод будет производиться. Для простоты ограничимся случаем, когда в формулах фигурируют только односимвольные переменные, запрещено использование унарных операций, а символ , обозначающий умножение, не может быть опущен.

В качестве алфавита $\Sigma$ возьмем то же самое множество, что и раньше, состоящее из двух круглых скобок (открывающей и закрывающей), четырех знаков арифметических операций ( , , и ) и 26-и идентификаторов от до , которыми будут обозначаться произвольные целые числа:

$\Sigma = \{ (, ), +, -, *, /, a, b, \ldots, z \}.$

В качестве метаалфавита рассмотрим множество из трех нетерминалов:

$N=\{\alpha,\beta,\gamma\},$

где символ $\alpha$ будет обозначать формулу, $\beta$ — имя переменной, а $\gamma$ — арифметическую операцию.

Множество правил грамматики $G_1 = (\Sigma, N, P, S)$ зададим так:

$\alpha$ $\rightarrow$ $(\alpha)$ $\mid$ $\beta$ $\mid$ $\alpha \ \gamma\ \alpha$

$$\beta$ $\rightarrow$ $a$ $\mid$ $b$ $\mid$ $\ldots$ $\mid$ $z$ \\$

$\gamma$ $\rightarrow$ $+$ $\mid$ $-$ $\mid$ $*$ $\mid$ $/$

Рис. 12.2. Деревья вывода формулы x+y*z

Стартовым метасимволом этой грамматики является нетерминал $\alpha$ , а примером вывода в ней может служить следующий вывод формулы x+y :

$\alpha \rightarrow \alpha\ \gamma\ \alpha \rightarrow x\ \gamma\ \alpha \rightarrow x +\alpha \rightarrow x+y.$

Для формулы x+y*z существует два существенно различных множества эквивалентных между собой цепочек вывода, каждому из которых соответствует свое дерево вывода. Эти деревья изображены на рис. 12.2 и отличаются друг от друга порядком появления в формуле операций и . Хотя в результате различных выводов получается одна и та же формула, вычисления по ним дадут различные результаты. В одном случае выражение x+y*z трактуется как (x+y)*z , а в другом — как x+(y*z) .

Таким образом, грамматика G_1 хотя и задает язык правильных арифметических формул, не отражает старшинства операций (приоритетов). Тот же самый язык может быть задан с помощью иной грамматики G_2 , в которой этот недостаток устранен.

Множество нетерминалов для этой грамматики будет состоять из четырех метасимволов — , , и , обозначающих соответственно формулу, терм, множитель и имя переменной. Множество правил грамматики G_2 зададим так:

$F$ $\rightarrow$ $T$ $\mid$ $T+F$ $\mid$ $T-F$

$T$ $\rightarrow$ $M$ $\mid$ $M*T$ $\mid$ $M/T$

$M$ $\rightarrow$ $(F)$ $\mid$ $V$

$V$ $\rightarrow$ $a$ $\mid$ $b$ $\mid$ $\ldots$ $\mid$ $z$

По ряду причин чуть позже нам понадобятся другие грамматики рассматриваемого языка.

Грамматика G_0 отличается от только что рассмотренной G_2 порядком следования нетерминалов в правой части первых двух правил:

$F$ $\rightarrow$ $T$ $\mid$ $F+T$ $\mid$ $F-T$

$T$ $\rightarrow$ $M$ $\mid$ $T*M$ $\mid$ $T/M$

$M$ $\rightarrow$ $(F)$ $\mid$ $V$

$V$ $\rightarrow$ $a$ $\mid$ $b$ $\mid$ $\ldots$ $\mid$ $z$

Важные свойства именно этой грамматики определяют ее обозначение. Именно грамматика G_0 языка правильных арифметических формул будет использоваться в целом ряде последующих учебных курсов.

Еще один вариант грамматики (назовем ее G_3 ) таков:

$F$ $\rightarrow$ $T\{+T\}$ $\mid$ $T\{-T\}$

$T$ $\rightarrow$ $M\{*M\}$ $\mid$ $M\{/M\}$

$M$ $\rightarrow$ $(F)$ $\mid$ $V$

$V$ $\rightarrow$ $a$ $\mid$ $b$ $\mid$ $\ldots$ $\mid$ $z$

Фигурные скобки в этой записи означают повторение фрагмента, в них стоящего, нуль или более раз. Таким образом, первое правило этой грамматики означает, что метасимвол может быть преобразован в , T+T , T-T , T+T+T , T+T-T , T-T+T , T-T-T и т.д.