Экономико-математические модели и принятие решений

Устойчивость выводов в математической модели. Вполне ясно, что рассматриваемая классическая модель управления запасами, как и любые иные экономико-математические модели конкретных экономических явлений и процессов, является лишь приближением к реальности. Приближение может быть более точным или менее точным, но никогда не может полностью уловить все черты реальности. Поэтому с целью повышения адекватности получаемых на основе экономико-математической модели выводов целесообразно изучить устойчивость этих выводов по отношению к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок модели . Выше изучено изменение средних издержек при малых отклонениях величины поставки.

Предположим теперь, что вместо истинных значений параметров µ, g, s нам известны лишь их приближенные значения . Мы применяем план Вильсона, но с искаженным объемом партии

Это приводит к возрастанию средних издержек. Согласно формулам (40) - (41) возрастание пропорционально (с точностью до бесконечно малых более высокого порядка). Здесь

Выделим в главный линейный член:

( 42)

(с точностью до бесконечно малых более высокого порядка).

Величину можно определить по фактическим данным о спросе, оценив величину отклонения реального спроса от линейного приближения, например, с помощью математического аппарата линейного регрессионного анализа . Для определения значений параметров и необходимо проведение специальных трудоемких исследований. К тому же существуют различные методики расчета этих параметров, результаты расчетов по которым не совпадают. Поэтому естественно оценить разумную точность определения g и s по известной точности определения . Для этого воспользуемся "принципом уравнивания погрешностей", предложенным в .

Важное замечание 2. Принцип уравнивания погрешностей состоит в том, что погрешности различной природы должны вносить примерно одинаковый вклад в общую погрешность математической модели. Так, определение рационального объема выборки в статистике интервальных данных основано на уравнивании влияния метрологической и статистической погрешностей. Согласно подходу [13.15] выбор числа градаций в социологических анкетах целесообразно проводить на основе уравнивания погрешностей квантования и неопределенности в ответах респондентов. В классической модели управления запасами целесообразно уравнять влияние неточностей в определении параметров на отклонение целевой функции от оптимума.

Выберем и так, чтобы увеличение затрат, вызванное неточностью определения и , было таким же, как и вызванное неточностью определения . С точностью до бесконечно малых более высокого порядка это означает, что необходимо уравнять между собой три слагаемых в правой части (42). После сокращения общего множителя получаем, что согласно принципу уравнивания погрешностей должно быть справедливо соотношение

( 43)

Таким образом, относительные погрешности определения параметров модели должны совпадать.

В соотношении (43) используются истинные значения параметров, которые неизвестны. Поэтому целесообразно вначале вместо параметров использовать их грубые оценки, из (43) определить их примерную точность, затем провести исследования, уточняющие значения параметров. Эту процедуру естественно повторять до тех пор, пока не произойдет некоторое уравнивание относительных погрешностей определения параметров модели.

Модель с дефицитом. Классическая модель управления запасами может быть обобщена в различных направлениях. Одно из наиболее естественных обобщений - введение в модель возможности дефицита.

В рассматриваемой до сих пор модели предполагалось, что дефицит не допускается, т.е. некоторое количество товара на складе всегда есть. Но, может быть, выгоднее сэкономить на расходах по хранению запаса, допустив небольшой дефицит - потребность в товаре в некоторые интервалы времени может остаться неудовлетворенной?

Как подсчитать убытки от дефицита, в частности, от потери доверия потребителя? Будем считать, что если нет товара, владеющая складом организация платит штраф - каждый день пропорционально нехватке. По приходе очередной поставки все накопленные требования сразу же удовлетворяются.

Сохраним все предположения и обозначения рассматриваемой до сих пор модели, кроме отсутствия дефицита. Неудовлетворенный спрос будем рассматривать как отрицательный запас. График изменения величины запаса на складе изображен на рис.13.3.

Рис. 13.3. График изменения величины запаса на складе при возможности дефицита

Очевидно, рис.13.1 и рис.13.3 отличаются только тем, что на последнем рисунке зубцы графика могут опускаться ниже оси абсцисс, что соответствует сдвигу графика рис.13.1 как единого целого вниз вдоль оси ординат.

Пусть - плата за нехватку единицы товара в единицу времени (например, в день). Тогда средние издержки за время определяются формулой

где - индикатор множества , т.е. при и при , в то время как при и при . Таким образом, площадь под частью графика уровня запаса, лежащей выше оси абсцисс, берется с множителем , а площадь между осью абсцисс и частью графика , соответствующей отрицательным значениям запаса, берется с заметно большим по величине множителем .

Для модели с дефицитом оптимальный план находится почти по той же схеме, что и для модели без дефицита. Сначала фиксируем моменты поставок и находим при этом условии оптимальные размеры поставок. Фактически речь идет о выборе уровня запаса в момент прихода очередной поставки (рис.13.4).

Рис. 13.4. Первый шаг построения оптимального плана в модели с дефицитом

Увеличивая или уменьшая , можно увеличивать или уменьшать площадь треугольника над осью абсцисс (учитываемую с коэффициентом ) и соответственно уменьшать или увеличивать площадь треугольника под осью абсцисс (учитываемую с коэффициентом ), добиваясь минимизации взвешенной суммы этих площадей. Все элементы прямоугольных треугольников на рис.13.4 выражаются через , заданный интервал времени между поставками и параметры модели. Минимизация соответствующего квадратного трехчлена дает оптимальное значение

При этом минимальная сумма затрат на хранение и издержек, вызванных дефицитом, равна

Второй шаг нахождения оптимального плана в модели с дефицитом полностью совпадает с аналогичным рассуждением в исходной модели. Фиксируется число поставок, и с помощью варьирования размеров интервалов между поставками минимизируется целевой функционал. Поскольку сумма квадратов некоторого числа переменных при заданной их сумме достигает минимума, когда все эти переменные равны между собой, то оптимальным планом является план, у которого все зубцы одинаковы, т.е. уровень запаса в момент прихода очередной поставки - всегда один и тот же. При этом все объемы поставок, за исключением объема начальной поставки (в нулевой момент времени), равны между собой:

( 44)

На третьем этапе среди указанного однопараметрического дискретного множества планов находим оптимальный план. Как и для модели без дефицита, в качестве ориентира используется план с размером поставки, определяемой по формуле квадратного корня,

Для горизонтов планирования , кратных оптимальным является план типа (44) с Для всех остальных горизонтов планирования, как и в случае модели без дефицита, необходимо найти неотрицательное целое число такое, что

а затем, сравнив издержки для и , объявить оптимальным то из этих двух значений, для которого издержки меньше.

Отметим, что модель без дефицита является предельным случаем для модели с дефицитом при безграничном возрастании платы за дефицит. В частности,

Как и в случае модели без дефицита, план с объемом поставки, определяемой по формуле квадратного корня, , является асимптотически оптимальным.