Экономико-математические модели и принятие решений

Система моделей на основе модели Вильсона. Классическая модель теории управления запасами, называемая также моделью Вильсона, допускает различные обобщения.

Одно из таких обобщений - модель с конечной скоростью поставки , т.е. модель, в которой за время поставляется продукция объемом (при наличии в то же время постоянного спроса с интенсивностью причем считается, что ). Таким образом, в этой модели поставка происходит не мгновенно, а в течение некоторого интервала времени, причем объем поставляемой продукции линейно зависит от времени. Такие поставки будем называть линейными с интенсивностью .

Другое обобщение классической модели связано с обобщением функции от объема запаса, задающей плату за хранение. В исходной модели считалось, что расходы за хранение пропорциональны объему продукции на складе. Естественно считать, что эти расходы должны содержать постоянный член , не зависящий от объема продукции на складе (расходы на содержание самого склада, оплату работников и т.д.). Однако оптимальный план при таком обобщении не изменится. Действительно, в формуле для издержек добавится постоянный член а, и положение минимума не изменится при его добавлении.

Однако в модели с дефицитом ситуация иная. Затраты на хранение возникают только при наличии товара на складе, и издержки этого вида вполне естественно разделить на постоянные и переменные (пропорциональные объему запаса на складе).

Аналогично издержки, вызванные дефицитом, вполне естественно разделить на постоянные (вызванные самим фактом дефицита) и переменные (пропорциональные величине дефицита).

В классической модели плата за доставку партии не зависит от объема партии. Т.е. здесь используются только постоянные издержки. Представляется вполне естественным ввести линейный член, соответствующий возрастанию платы за доставку в зависимости от величины партии (переменные издержки). (Ниже будет показано, что добавление этого члена не влияет на решение задачи оптимизации и вид оптимального плана.) Дальнейшее обобщение - введение скидок в зависимости от величины партии. Это приводит к выражению платы за доставку в виде квадратного трехчлена от объема партии.

Можно рассматривать одновременно несколько обобщений. В результате получаем систему моделей на основе классической модели управления запасами, состоящую из 36 моделей [13.20]. Каждая из них может быть описана набором четырех чисел . Каждое из этих чисел соответствует одному из рассмотренных выше видов обобщений исходной модели.

При этом , если поставки мгновенные, и , если поставки являются линейными с интенсивностью причем

Если плата за хранение продукции объемом у в течение единицы времени равна , то . Если же учтены постоянные (при наличии товара на складе) издержки, т.е. указанная плата равна , то .

Если плата за нехватку продукции объемом у в течение единицы времени бесконечна (т.е. дефицит не допускается), то . Если эта плата равна (рассмотренная выше модель с дефицитом), то . Если же вводятся также постоянные издержки (плата за само наличие дефицита), т.е. плата за нехватку продукции объемом в течение единицы времени равна , то .

Наконец, , если плата за доставку партии продукции объемом равна . Если учитываются переменные издержки, т.е. эта плата равна , то . Если же в модели учитываются скидки на объем партии, т.е. если плата за доставку партии продукции объемом равна , то .

Для имеется два возможных значения, для - тоже два, для - три возможных значения, для - тоже три. Всего имеется возможных комбинаций, т.е. 36 возможных моделей. Классическая модель управления запасами описывается набором (0, 0, 0, 0), а модель с дефицитом - набором (0, 0, 1, 0).

Рассмотрим наиболее обобщенную модель рассматриваемой системы. Она описывается набором (1, 1, 2, 2). Можно показать, что для нее справедливы основные утверждения, касающиеся классической модели и модели с дефицитом. Однако "формула квадратного корня" имеет более сложный вид, а именно,

В частности, план с является асимптотически оптимальным.

Формула для позволяет обнаружить ряд любопытных эффектов. Так, в ней не участвует параметр . Другими словами, при любом изменении этого параметра оптимальный объем поставки не меняется. Если запас пополняется весьма быстро по сравнению со спросом, т.е. то соответствующий множитель в "формуле квадратного корня" исчезает, и для моделей с получаем более простую формулу

Дальнейшее упрощение получаем при . Это равенство означает, что постоянные (в другой терминологии - фиксированные) платежи за хранение и в связи с дефицитом совпадают, например, равны 0. Если последнее утверждение справедливо, то

Предположим теперь, что при доставке партии отсутствуют скидки (или надбавки) за размер партии. Тогда "формула квадратного корня" упрощается дальше и приобретает вид

Эта формула уже была получена выше при рассмотрении модели с дефицитом. При безграничном возрастании h получаем формулу Вильсона для классической модели управления запасами:

Новое в последних двух формулах - наличие в левой части параметра , не участвующего в формировании объема партии.

Важное замечание 3. Модели конкретных экономических (и не только) процессов и явлений обычно не встречаются и не изучаются поодиночке. Обычно имеется совокупность моделей, объединенных в систему, переходящих друг в друга при тех или иных предельных переходах. Часто более простые модели используются для расчетов, более сложные применяются для изучения точности, достигаемой с помощью более простых.

О практическом применении классической модели управления запасами. Для отработки методики практического использования классической модели управления запасами был проведен эксперимент на снабженческо-сбытовой базе, а именно, на Реутовской химбазе Московской области. Собраны и обработаны данные по одному из товаров, распространяемых этой организацией в большом объеме, - по кальцинированной соде. В качестве исходной информации о спросе использовались данные об ежедневном отпуске кальцинированной соды потребителям, зафиксированные на карточках складского учета. Рассчитана величина затрат на хранение как соответствующая доля общей суммы издержек по содержанию базы, а также расходы на доставку новых партий. Для определения расходов на хранение запасов использованы данные о заработной плате складского персонала (включая основную и дополнительную заработная плата, начисления на зарплату), расходах на содержание охраны, эксплуатацию складских зданий и сооружений, расходах по текущему ремонту, по таре, на приемку, хранение, упаковку и реализацию товаров, о величине амортизационных отчислений и др. Для расчета расходов на доставку новых партий товара использованы данные о расходах по завозу, о плате за пользование вагонами и контейнерами сверх установленных норм, расходах на содержание и эксплуатацию подъемно-транспортных механизмов, о заработной плате работников, занятых в процессе доставки товара, канцелярских, почтовых и телеграфных расходах и др.

Полезным оказалось вытекающее из "принципа уравнивания погрешностей" соотношение (43). Интенсивность спроса µ и погрешность определения этого параметра найдены методом наименьших квадратов. Это дало возможность установить величину относительной точности определения параметров модели, вытекающих из величин погрешностей исходных данных для спроса. Параметры классической модели управления запасами g и s оценивались двумя способами - по методике Всесоюзного института материально-технического снабжения и по методике Центрального экономико-математического института АН СССР. Для каждой из методик с помощью соотношения (43) были найдены абсолютные погрешности определения параметров g и s. Оказалось, что для каждой из методик интервалы ) и таковы, что числа, рассчитанные по альтернативной методике, попадают внутрь этих интервалов. Это означает, что для определения параметров g и s можно пользоваться любой из указанных методик (в пределах точности расчетов, заданной наблюдаемыми колебаниями спроса).

Вызванное отклонениями параметров модели в допустимых пределах максимальное относительное увеличение суммарных затрат на доставку и хранение продукции не превосходило 26% (колебания по кварталам от 22,5% до 25,95%). Фактические издержки почти в 3 раза превышали оптимальные (в зависимости от квартала фактические издержки составляли от 260% до 349% от оптимального уровня). Следовательно, внедрение модели Вильсона в практику управления запасами на Реутовской химбазе дает возможность снизить издержки, связанные с доставкой и хранением кальцинированной соды, не менее чем в 2 раза.

Таким образом, несмотря на то, что параметры модели определены неточно и отклонения значений параметров (от тех значений, по которым рассчитывается оптимальный план поставок) приводят к некоторому увеличению затрат по сравнению с затратами в оптимальном плане, использование рассматриваемой модели для реального управления запасами конкретной продукции может дать значительный экономический эффект. Аналогичным является положение со многими другими моделями управления запасами. Это утверждение подтверждает и зарубежный опыт, проанализированный в монографии.

Двухуровневая модель управления запасами. Создание любой автоматизированной системы управления материально-техническим снабжением (в другой терминологии - процессами логистики), базирующейся на комплексе экономико-математических моделей, должно включать в себя разработку (в качестве блоков) моделей деятельности отдельных баз (складов). Поэтому большое внимание уделяется проблеме построения оптимальной политики управления запасами на базе (складе). Экономико-математическую теорию удается развивать в основном для однопродуктовых моделей.

Двухуровневая модель управления запасами - это однопродуктовая модель работы склада, в которой заявки потребителей удовлетворяются мгновенно. При отсутствии продукта заявки учитываются. Как только запас на складе опускается до уровня , мгновенно поступает партия товара величиной и запас на складе оказывается равным . Как и в рассмотренном выше варианте классической модели Вильсона с дефицитом, издержки складываются из издержек по хранению, издержек от дефицита и издержек по доставке. Средние издержки за время имеют вид

где - уровень запаса на складе, - индикатор множества А , т.е. при и при , в то время как при и при , параметры модели имеют тот же смысл, что и выше. Оптимизация состоит в определении значений нижнего уровня и верхнего уровня , минимизирующих средние издержки.

В 1950-х годах американский исследователь К. Эрроу (в будущем - нобелевский лауреат по экономике) с сотрудниками показал, что в ряде случаев оптимальная политика управления запасами - это политика, основанная на двухуровневой модели [13.15]. Этот принципиально важный теоретический результат стимулировал развитие исследований свойств двухуровневой модели. Однако окончательная теория была построена только в конце 1970-х годов.

Важными являются характеристики потока заявок. Пусть - число заявок за время . Эта величина предполагается случайной. С прикладной точки зрения вполне естественно предположить, что математическое ожидание конечно. Накопленный спрос за время имеет вид

где Xj - величина j-ой заявки. Предполагается, что X1, X2, … , Xn, … - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием MX1. Таким образом, накопленный спрос за время Т является суммой случайного числа случайных слагаемых. Накопленный спрос определяет уровень запаса на складе, поэтому математический аппарат изучения двухуровневой модели - это предельная теория сумм случайного числа случайных слагаемых.

При некоторых условиях регулярности (выполняющихся для реальных систем управления запасами) в [13.15] найдены оптимальные (для горизонта планирования Т) значения нижнего и верхнего уровней:

Часто можно принять, что число поступающих заявок обладает некоторой равномерностью. Например, вполне естественно принять, что

при некотором . Здесь - параметр, описывающий предельную интенсивность спроса. Тогда асимптотически оптимальные уровни имеют вид:

Отметим, что асимптотическое распределение уровня запаса на складе - равномерное на отрезке [R, R+Q].