НОУ ИНТУИТ | Менеджмент высоких технологий. Лекция 4: Организационно-экономическая система управления материальными запасами промышленных корпоративных систем

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 01.09.2009 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Определение оптимальной стратегии нестационарной детерминированной системы управления запасами методом динамического программирования.Опишем решение поставленной задачи методом динамического программирования в соответствии со схемой, приведенной выше.

Рассмотрим последовательно определение оптимального управления на шаге w, w-1 и т. д., используя принцип оптимальности Р. Беллмана.

Рассмотрим -ый шаг:

$s^{w-1}_{h}$ - состояние системы к началу -го шага ( $s^{w-1}_{h} \in S^{w-1}$ );

$s^{w}_n = s^{\wedge}_n$ - конечное состояние системы;

$x^{w}_{nq}$ - управление на -м шаге;

Следует отметить, что если шаги k = 1..w-1 могут заканчиваться какой-либо поставкой, то шаг представляет собой только расходование запаса до уровня $z^{\wedge}_n = s^{\wedge}_n$ без последующей поставки в момент времени , т. е. $x^{w}_{nq} = x^{w}_{n1} = p_{n1} = 0$ . Динамика изменения величины запаса в течение периода планирования представлена на рис. 4.14.

Множество возможных состояний на (w-1) -м шаге $s^{w-1}_{h}$ можно получить из уравнений состояний (4.28):

$s_{n}^{w} = s^{\wedge} = s_{h}^{w-1} - \sum\limits_{r=h}^{r=n-1}{Q_{r}} +x_{n1}^{w} = s_{h}^{w-1} - \sum\limits_{r=h}^{r=n-1}{Q_{r}} \ \Rightarrow \\ \Rightarrow s_{h}^{w-1} = s^{\wedge} + \sum\limits_{r=h}^{r=n-1}{Q_{r}} , 1 \le h \le (n-1)$

( n-1)

Целевую функцию (величину затрат на хранение и поддержание запаса) в течение -го шага получаем из (4.32):

$E^{w} = (C_{skl} + C_{pr}U + C_{pr}W) \sum\limits_{i=h+1}^{i=n}{\left ( d_i \left ( s_h^{w-1} - \sum\limits_{r=h}^{r=i-1}{Q_r} \right ) \right )}$

( 4.34)

Поскольку $x^{w}_{nq} = x^{w}_{n} _{1}$ , то $E^{w}(s^{w-1}_{h})$ не зависит от $x^{w}_{nq}$ , следовательно условный минимум целевой функции на -м шаге:

$E^{*w} (s_{h}^{w-1}) = \min_{\{ x_{nq}^w\}} {E^{w} (s^{w-1}_{h}, x_{nq}^{w}) = E^{w} (s_{h}^{w-1}, x^{w}_{n1}) = \\ = (C_{skl} + C_{pr}U + C_{pr}W) \sum\limits_{i=h+1}^{i=n}{\left ( d_i \left ( s_h^{w-1} - \sum\limits_{r=h}^{r=i-1}{Q_r} \right ) \right )}$

( 4.35)

Рассчитав $E*^{w}(s^{w-1}_{h})$ для всех возможных $s^{w-1}_{h}$ , получим функцию оптимальных затрат на -м шаге при условии действия управления $x^{w}_{n1}$ .

Рис. 4.14. Изменение величины запаса z в течение периода T

Рассмотрим шаг (w-1) . Множество возможных состояний $s^{w-2}_{g}$ получаем из уравнений состояний (4.28):

$s_h^{w-1} = s_g^{w-2} - \sum\limits_{r=g}^{r=h-1}{Q_r} + x_{hq}^{w-1} \Rightarrow \\ \Rightarrow s_g^{w-2} = s_h^{w-1} + \sum\limits_{r=g}^{r=h-1}{Q_r} + x_{hq}^{w-1},$

( 4.36)

где $s_h^{w-1} \in S^{w-1}$ , $x^{w-1}_{hq} \in X^{w-1}$ , $1 \le g \le (h-1)$ , $1 \le q \le v$

Для любых возможных состояний $s^{w-2}_{g}$ и возможных управлений $x^{w-1}_{hq}$ из (6.23) получаем:

$E^{*w-1} (s^{w-2}_g ) = \min_{\{ x_{hq}^{w-1}\}}{\{ E_{w-1}(s_g^{w-2}, x_{hq}^{w-1}) + E^{*w}(s_h^{w-1})\}}$

( 4.37)

С учетом уравнения состояния (4.36) $E*^{w-1}(s^{w-2}_{g})$ зависит только от $s^{w-2}_{g}$ и $x^{w-1}_{hq}$ . В результате минимизации только по одной переменной $x^{w-1}_{hq}$ согласно уравнению (4.37) получим две функции: $E^{*w-1}(s^{w-2}_{g})$ и $x^{*w-1}_{hq}(s^{w-2}_{g})$ .

Далее рассматривается трехшаговая задача: к двум последним шагам присоединяется (w-2) -й и т. д.

Рассмотрим общий случай определения оптимального управления на шаге ( $k = 1, 2, \dots , w$ ). Множество возможных состояний $s^{k-1}_{b}$ в начале шага определяется из (4.28):

$s_b^{k-1} = s_c^{k}+ \sum\limits_{r=b}^{r=c-1}{Q_r} - x_{cq}^{k}, s_c^k \in S^k, x_{cq}^k \in X^k$

( 4.38)

Минимум целевой функции на (w-k) шагах при условии, что перед -м шагом система находилась в состоянии $s^{k-1}_{b}$ , определяется как:

$E^{*k} (s_{b}^{k-1}) = \min_{\{x_{cq}^k\}}{ \{ E^k (s_{b}{k-1}, x^{k}_{cq}) + E^{*k+1} (s^{k}_c)\} },$

( 4.39)

где

$s_c^{k} = s_b^{k-1}+ \sum\limits_{r=b}^{r=c-1}{Q_r} - x_{cq}^{k}, s_c^k \in S^k, x_{cq}^k \in X^k$

( 4.40)

Таким образом, определив из (4.35) значения $E^{*w}(s^{w-1}_{h})$ для всех допустимых $s^{w-1}_{h}$ при условии действия управления $x^{w}_{n1}$ , а из (4.39) и уравнений состояний (4.40) значения $E^{*k}(s^{k-1}_{b})$ и соответствующие $x^{*k}_{cq}(s^{k-1}_{b})$ , получим последовательности:

$E^{*w}(s^{w-1}_{h}), E^{*w-1}(s^{w-2}_{g}), \dots , E^{*k+1}(s^{k}_{c}), E^{*k}(s^{k-1}_{b}), \dots , E^{*2}(s^{1}_{a}), E^{*1}(s^{0}_{1})$ -

условные минимумы целевой функции на последнем, на двух последних, на $\dots w$ последних шагах и

$x^{w}_{n1}, x^{*w-1}_{hq}(s^{w-2}_{g}), \dots , x^{*k}_{cq}(s^{k-1}_{b}), \dots , x^{*1}_{aq}(s^0_1)$ -

условные оптимальные управления на -м, (w-1) -м, $\dots,$ -м шагах.

Используя эти последовательности, находим решение задачи. При фиксированном $s ^{0}_{1} = s ^{\wedge}_{1}$ получаем $x^{*1}_{aq} = x ^{*1}_{aq}(s ^{\wedge}_{1})$ .

Если $s^{\wedge}_{1}$ представляет собой множество, т. е. $s^1 \in S ^{\wedge}_{1}$ , то $x^{*1}_{aq} = x^{*1} (s^{*\wedge}^{1})$ , где состояние $s ^{*\wedge}_1$ , такое, что:

$E ^{*1}(s _{1}^{*\wedge} ) = \min_{s_1^0 \in S^{\wedge}_1}{(E ^{*1}(s _{1}^{0}))}.$

Далее из (4.40) определяем $s^{*1}_{a}=\varphi(s^{\wedge}_{1}, x^{*1}_{aq})$ и т. д.:

$x ^{*1}_{aq} = x ^{*1}_{aq}(s ^{\wedge}_1) \to s^{*1}_{a} = \varphi( s ^{\wedge}_1, x^{*1}_{aq}) \to \dots \\ \to s^{*w-1}_{h} =\varphi_{w-l}(s^{*w-2}_{g}, x^{*w-1}_{hq}) \to x^{*w}_{nq} = x^{*w}_{nq}(s^{*w-1}_{h}).$

Таким образом, получаем оптимальную стратегию:

$X^*=(x^{1}_{aq}, \dots , x*^{k-1}_{bq}, x ^{*k}_{cq}, \dots , x ^{*w}_{nq}),$

где $x^{*k}_{cq}$ определяет величину $p_{q}$ и момент времени поставки в оптимальной стратегии управления запасами X^* для поставленной задачи.

Поставленная задача имеет ряд ограничений на размер поставки, на величину текущего запаса, на минимальный интервал времени между соседними поставками.

Ограничения на размер поставки учтены в уравнении для допустимых величин поставки (4.25).

Ограничения на величину текущего запаса, минимальный интервал времени между поставками учитываются при определении множеств допустимых состояний $S^{k}$ на каждом шаге k = 1..w .

Расчетное множество состояний на шаге (k-1) определяется из (4.38) на основе множества допустимых состояний $S^{k}$ на шаге и множества допустимых управлений $X^{k}$ на шаге . Каждое состояние на шаге (k-1) $s^{k-1}_{b}$ характеризуется моментом времени и расчетным уровнем запаса в этот момент времени.

Учет ограничений на величину запаса проводится путем отсеивания тех расчетных состояний $s^{k-1}_{b}$ , при которых уровень запаса не соответствует указанным ограничениям.

Учет ограничения на минимальный интервал времени между соседними поставками проводится путем отсеивания тех расчетных состояний $s^{k-1}_{b} = \varphi (s^{k}_{c}, x^{k}_{c})$ , для которых $(c - b) \le I$ .

Таким образом, множество допустимых состояний на шаге (k-1) с учетом всех ограничений можно описать следующим образом:

$\left { \begin{array}{l} s^{k-1} \in S^{k-1} \text{ при условии, что }R_{b} \le s^{k-1}_{b} \le V_{skl} \text{ и } (c-b) \le I \\ s^{k-1} \notin S^{k-1} \text{ в противном случае}. \end{array}$

Определение множества допустимых состояний осуществляется на каждом шаге k = 1..w .

На рис. 4.15 представлена блок-схема алгоритма решения задачи нахождения оптимальной стратегии управления запасами для нестационарной детерминированной системы.