Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Лекция 2:

Слова, языки и грамматики

< Лекция 1 || Лекция 2: 12345 || Лекция 3 >

1.5. Классы грамматик

Определение 1.5.1. Контекстной грамматикой (контекстно-зависимой грамматикой, грамматикой непосредственно составляющих, НС-грамматикой, грамматикой типа 1, context-sensitive grammar, phrase-structure grammar) называется порождающая грамматика, каждое правило которой имеет вид \eta A \theta \to \eta \alpha \theta, где A \in N, \eta \in (N \cup \Sigma) ^*, \theta \in (N \cup \Sigma) ^*, \alpha \in (N \cup \Sigma) ^+.

Пример 1.5.2. Грамматика

\begin{align*}
S \; & {\to} \; T S , &  A \; & {\to} \; a , \\
S \; & {\to} \; U S , &  T A \; & {\to} \; A A T , \\
S \; & {\to} \; b , &  U A b \; & {\to} \;  b , \\
T b \; & {\to} \; A b , &  U A A A \; & {\to} \; A A U 
\end{align*}
не является контекстной (последние три правила не имеют требуемого вида).

Определение 1.5.3. Контекстно-свободной грамматикой ( бесконтекстной грамматикой, КС-грамматикой, грамматикой типа 2, context-free grammar) называется порождающая грамматика, каждое правило которой имеет вид A \to \alpha, где A \in N, \alpha \in (N \cup \Sigma) ^*.

Пример 1.5.4. Грамматика

\begin{align*}
S \; & {\to} \; ASTA , & AT \; & {\to} \; UT , \\
S \; & {\to} \; AbA , & UT \; & {\to} \; UV , \\
A \; & {\to} \; a , & UV \; & {\to} \; TV , \\
bT \; & {\to} \; bb , & TV \; & {\to} \; TA 
\end{align*}
является контекстной, но не контекстно-свободной (последние пять правил не имеют требуемого вида).

Определение 1.5.5. Линейной грамматикой (linear grammar) называется порождающая грамматика, каждое правило которой имеет вид A \to u или A \to u B v, где A \in N, u \in \Sigma ^*, v \in \Sigma ^*, B \in N.

Грамматика

\begin{align*}
S \; & {\to} \; TT , \\
T \; & {\to} \; cTT , \\
T \; & {\to} \; bT , \\
T \; & {\to} \; a 
\end{align*}
является контекстно-свободной, но не линейной (первые два правила не имеют требуемого вида).

Определение 1.5.7. Праволинейной грамматикой ( рациональной грамматикой, грамматикой типа 3, right-linear grammar) называется порождающая грамматика, каждое правило которой имеет вид A \to u или A \to u B, где A \in N, u \in \Sigma ^*, B \in N.

Пример 1.5.8. Грамматика

\begin{align*}
S \; & {\to} \; aSa , \\
S \; & {\to} \; T , \\
T \; & {\to} \; bT , \\
T \; & {\to} \; \varepsilon 
\end{align*}
является линейной, но не праволинейной (первое правило не имеет требуемого вида).

Пример 1.5.9. Грамматика

\begin{align*}
S \; & {\to} \; T , \\
U \; & {\to} \; abba 
\end{align*}
праволинейная. Она порождает язык \varnothing.

Пример 1.5.10. Грамматика

\begin{align*}
S \; & {\to} \; aS , & T \; & {\to} \; aT , \\
S \; & {\to} \; bS , & T \; & {\to} \; bT , \\
S \; & {\to} \; aaaT , & T \; & {\to} \; \varepsilon \\
S \; & {\to} \; aabaT , \\
S \; & {\to} \; abaaT , \\
S \; & {\to} \; aabbaT , \\
S \; & {\to} \; ababaT , \\
S \; & {\to} \; abbaaT ,
\end{align*}
праволинейная.

Пример 1.5.11. Грамматика

\begin{align*}
S \; & {\to} \; \varepsilon , & T \; & {\to} \; abaT , \\
S \; & {\to} \; aaaS , & T \; & {\to} \; baaT , \\
S \; & {\to} \; abbS , & T \; & {\to} \; bbbT , \\
S \; & {\to} \; babS , & T \; & {\to} \; bbaS \\
S \; & {\to} \; aabT ,
\end{align*}
праволинейная. Обобщенный вариант языка, порождаемого этой грамматикой, используется в доказательстве разрешимости арифметики Пресбургера.

Определение 1.5.12. Правила вида \alpha \to \varepsilon называются \varepsilon - правилами или эпсилон-правилами.

Лемма 1.5.13. Каждая праволинейная грамматика является линейной. Каждая линейная грамматика является контекстно-свободной. Каждая контекстно-свободная грамматика без \varepsilon -правил является контекстной грамматикой.

Определение 1.5.14. Классы грамматик типа 0, 1, 2 и 3 образуют иерархию Хомского (Chomsky hierarchy).

Определение 1.5.15. Язык называется языком типа 0 ( контекстным языком, контекстно-свободным языком, линейным языком, праволинейным языком ), если он порождается некоторой грамматикой типа 0 (соответственно контекстной грамматикой, контекстно-свободной грамматикой, линейной грамматикой, праволинейной грамматикой). Контекстно-свободные языки называются также алгебраическими языками.

Пример 1.5.16. Пусть дан произвольный алфавит

\Sigma = \{ a_1 , \ldots , a_n \} .
Тогда язык \Sigma ^* является праволинейным, так как он порождается грамматикой
\begin{align*}
S \; & {\to} \; \varepsilon , \\
S \; & {\to} \; a_1 S , \\
& \vdots\\
S \; & {\to} \; a_n S .
\end{align*}

Упражнение 1.5.17. Какому классу принадлежит грамматика

\begin{align*}
S \; & {\to} \; abba , \\
S \; & {\to} \; baa ?
\end{align*}

Упражнение 1.5.18. Какому классу принадлежит грамматика

\begin{align*}
S \; & {\to} \; A D , \\
A \; & {\to} \; a A , \\
A \; & {\to} \; \varepsilon , \\
D \; & {\to} \; b D c , \\
D \; & {\to} \; \varepsilon ?
\end{align*}

Упражнение 1.5.19. Найти праволинейную грамматику, порождающую язык \{ a^n b^m \mid n \geqslant 1 \text{ или } m \geqslant 1 \}.

Упражнение 1.5.20. Найти праволинейную грамматику, эквивалентную грамматике

\begin{align*}
S \; & {\to} \; K bba K, \\
K \; & {\to} \; K a, \\
K \; & {\to} \; K b, \\
K \; & {\to} \; \varepsilon .
\end{align*}

Упражнение 1.5.21. Найти праволинейную грамматику, эквивалентную грамматике

\begin{align*}
S \; & {\to} \; a S b,  & K \; & {\to} \; a K, \\
S \; & {\to} \; K, & J \; & {\to} \; J b, \\
S \; & {\to} \; J, & K \; & {\to} \; a, \\
& & J \; & {\to} \; \varepsilon .
\end{align*}

< Лекция 1 || Лекция 2: 12345 || Лекция 3 >
Юлия Маковецкая
Юлия Маковецкая

Упражнение 2.1.25

Евгения Гунченко
Евгения Гунченко

Сдавала тест экстерном, результат получен 74 после принятия данного результата и соответственно оплаты курса, будет ли выдано удостоверение о повышении квалификации?

Юрий Фролов
Юрий Фролов
Украина
Руслан Мухамедьяров
Руслан Мухамедьяров
Россия, Казань, КФУ