Упражнение 2.1.25 |
Слова, языки и грамматики
1.3. Гомоморфизмы
Определение 1.3.1. Пусть и
- алфавиты.
Если отображение
удовлетворяет условию
для всех слов
и
,
то отображение h
называется гомоморфизмом
( морфизмом ).
Замечание 1.3.2.
Можно доказать, что если - гомоморфизм,
то
.
Замечание 1.3.3. Пусть
и
.
Тогда отображение
,
заданное равенством
,
является гомоморфизмом.
Замечание 1.3.4. Каждый гомоморфизм однозначно определяется своими значениями на однобуквенных словах.
Замечание 1.3.5.
Если -
гомоморфизм и
,
то через h(L)
обозначается язык
.
Пример 1.3.6.
Пусть
и гомоморфизм
задан равенствами h(a) = abba
и
.
Тогда

Определение 1.3.7. Если -
гомоморфизм и
,
то через h-1(L)
обозначается язык
.
Пример 1.3.8. Рассмотрим алфавит .
Пусть гомоморфизм
задан равенствами h(a) = ab
и h(b) = abb.
Тогда

Упражнение 1.3.9. Пусть .
Существует ли такой гомоморфизм
,
что h(abc) = bac
и h(da) = ba?
Упражнение 1.3.10.
Существуют ли такой язык
и такой гомоморфизм
,
что
и
?
Упражнение 1.3.11. Пусть .
Существует ли
такой гомоморфизм
,
что
и
?
Упражнение 1.3.12. Существуют ли такой язык
и такой гомоморфизм
,
что
и
?
Упражнение 1.3.13. Пусть -
гомоморфизм, заданный соотношениями h(a) = a, h(b) = ba, h(c) = bb.
Существуют ли такие слова u и v,
что |u|<|v|
и |h(u)|>|h(v)|?