НОУ ИНТУИТ | Компьютерное моделирование. Лекция 3: Типовые математические модели

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 16.11.2010 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 50 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

2.8.2. Высокоорганизованный бой с пополнением группировок

В ходе боя противоборствующие стороны могут вводить резервы. Пусть сторона А вводит резерв $R_{1}$ в момент времени $t_{1}$ , сторона Б - резерв $R_{2}$ в момент времени $t_{2}$ . Такую ситуацию можно наглядно представить диаграммой (рис. 2.23).

Весь интервал исследования содержит три подинтервала, так в сумме резервы обеими сторонами вводятся три раза.

$0 \le t < t_{1}$ . Значения $m_{1}$ и $m_{2}$ находятся интегрированием уравнения динамики боя (2.3) при начальных условиях $N_{1}$ и $N_{2}$ .
$t_{1}\le t < t_{2}$ . Значения $m_{1}$ и $m_{2}$ на этом временном участке находятся интегрированием тех же уравнений динамики боя (2.3), но при начальных условиях $m_{1}(t_{2}) + R_{1}$ и $m_{2}(t_{2})$ .
$t_{2} \le t < \infty$ . Значения $m_{1}$ и $m_{2}$ на этом временном участке находятся интегрированием тех же уравнений динамики боя (2.3), но при начальных условиях $m_{1}(t_{2})$ и $m_{2}(t_{2}) + R_{2}$ .

Рис. 2.23. Иллюстрация к пополнению группировок

2.8.3. Высокоорганизованный бой с упреждением ударов

Предположим, что одна из сторон, например, сторона А, ведет огонь в то время, когда сторона Б еще не в состоянии ответить. Представим эту ситуацию диаграммой (рис. 2.24).

Цель моделирования также состоит в определении $m_{1}$ и $m_{2}$ на любой момент противоборства сторон. Как и в предыдущем случае, решение находится по частям для каждого характерного временного промежутка. Здесь их два.

$0 \le t < t_{у}$ . На этом временном промежутке огонь ведет только сторона А ( - время упреждения). Уравнения динамики боя здесь выглядят так:
$\left \{ \begin{array}{l} \cfrac{dm_1}{dt} = 0;\\ \cfrac{dm_2}{dt} = - \Lambda_1 N_1;\;\Lambda_1 = \lambda_1 P_1. \end{array}$

Значения $m_{2}$ находят интегрированием при начальном условии $m_{1} = N_{1}$ .
$t \le t < \infty$ . Значения $m_{1}$ и $m_{2}$ на этом участке также находятся интегрированием уравнений динамики средних, но при начальных условиях $N_{1}$ и $m_{2}(t_{у})$ . Величина $N_{1}$ известна, а величину $m_{2}(t)$ найдем из уравнения $\cfrac{dm_2}{dt} = - \Lambda_1 N_1:$
$\begin{array}{*{20}{l}} {d{m_2} = - {\Lambda _1}{N_1}dt;} \\ {\int\limits_{{m_2}\left( 0 \right)}^{{m_2}\left( {{t_у}} \right)} {d{m_2}} = - \int\limits_0^{{t_у}} {{\Lambda _1}} {N_1}dt;} \\ {{m_2}\left( 0 \right) = {N_2};\;{m_2}\left( {{t_у}} \right) - {m_2}\left( 0 \right) = - {\Lambda _1}{N_1}{t_у};} \\ {{m_2}\left( {{t_у}} \right) - {N_2} = - {\Lambda _1}{N_1}{t_у};\;{m_2}\left( {{t_у}} \right) = {N_2} - {\Lambda _1}{N_1}{t_у}.} \end{array}$

Рис. 2.24. Иллюстрация к упреждению удара

2.8.4. Модель боя с неполной информацией

Боевые единицы двух противоборствующих сторон распределены случайно (для противоположной стороны) на площадях $S_{1}$ и $S_{2}$ . Каждая боевая единица занимает некоторую площадь - позицию, величина которой $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ у сторон А и Б соответственно. Цель уничтожается при попадании заряда в площадь цели.

Схематично такое противоборство показано на рис. 2.25.

Как и в предыдущих случаях, $N_{1}$ и $N_{2}$ - первоначальные численности боевых единиц, скорострельности боевых единиц $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ , вероятности поражения одним выстрелом - $P_{1}$ и $P_{2}$ сторон А и Б соответственно.

Огонь по площадям $S_{1}$ и $S_{2}$ ведется неприцельно.

Рис. 2.25. Иллюстрация к модели боя с неполной информацией

Цель моделирования - определение среднего числа непораженных целей $m_{1}$ и $m_{2}$ на каждый момент времени ведения огня.

Уравнения динамики боя соответствуют уравнениям динамики средних (2.3). Однако, в отличие от высокоорганизованного боя, вероятности $P_{1}$ и $P_{2}$ зависят от числа непораженных целей $m_{1}$ и m_2 :

$P_1 = \cfrac{\sigma_2 m_2}{S_2};\;P_2 = \cfrac{\sigma_1 m_1}{S_1}.$

Следовательно, уравнения имеют вид:

$\left \{ \begin{array}{l} \cfrac{dm_1}{dt} = - \lambda_2\cfrac{\sigma_1 m_1}{S_1}m_2;\\ \cfrac{dm_2}{dt} = - \lambda_1\cfrac{\sigma_2 m_2}{S_2}m_1. \end{array}$

Начальные условия для интегрирования: $m_{1} = N_{1}$ и $m_{2} = N_{2}$ .

Если площади целей различны ( $\sigma_{1i};\;\sigma_{2j}$ ), то в уравнениях очевидны замены:

$\sigma_{1}\cdot m_{1} \to \sum\limits_{i = 1}^{m_1}\sigma_{1i};\;\sigma_{2}\cdot m_{2} \to \sum\limits_{j = 1}^{m_2}\sigma_{2j}.$

2.8.5. Учет запаздывания в переносе и открытии огня

Такая ситуация возможна при плохой разведке, связи, управлении огнем.

Пусть $m_{1}$ - время запаздывания открытия огня стороной А, $m_{2}$ - стороной Б. Тогда интенсивности потоков поражающих выстрелов сторон, приходящихся на одну цель, равны:

$\tilde{\lambda}_1 = \cfrac{\lambda_1 P_1 m_1(t)}{m_2(t - \tau_1)};\;\tilde{\lambda}_2 = \cfrac{\lambda_2 P_2 m_2(t)}{m_1(t - \tau_2)}.$

Уравнения динамики боя принимают вид:

$\left \{ \begin{array}{l} \cfrac{dm_1}{dt} = \cfrac{\lambda_1 P_1 m_1(t)}{m_2(t - \tau_1)}m_1(t),\; m_1(0)=N_1;\\ \cfrac{dm_2}{dt} = \cfrac{\lambda_2 P_2 m_2(t)}{m_1(t - \tau_2)}m_2(t),\; m_2(0)=N_2. \end{array}$

На рис. 2.26 в момент времени действительные значения боеспособных средств сторон равны $m_{1}(t)$ и $m_{2}(t)$ . Но в это время сторона А ведет огонь по целям, разведанным ранее, в момент времени $t - \tau_{1}$ ; сторона Б - по целям, разведанным в момент времени $t - \tau_{2}$ .

Рис. 2.26. Иллюстрация к учету запаздывания в переносе и открытии огня

Ценность рассмотренных моделей противоборства сторон в функциональном плане всегда ограничена - об этом было сказано в начале п. 2.8. Но они, бесспорно, расширяют наши представления о приемах и подходах к аналитическому моделированию сложных процессов.

Вопросы для самоконтроля

Что такое аналитическая модель? Ее отличия от других моделей.
Определение марковского случайного процесса. Причина "популярности" моделирования по схеме марковских процессов.
Что такое однородный и неоднородный марковские процессы?
Правило составления уравнений Колмогорова.
Эргодическая теорема Маркова.
Схема "гибели и размножения".
Характеристика элементов СМО.
Показатели СМО с отказами.
Показатели СМО с ожиданием.
Одноканальная СМО с очередью на 4 заявки и конечной надежностью канала. В момент отказа заявка, которая обслуживалась в канале, возвращается в очередь, если там есть место, иначе теряется. Во время ремонта заявки в СМО не поступают. Интенсивности поступления и обслуживания заявок $\lambda$ и $\mu$ , соответственно. Интенсивности выхода из строя и ремонта канала $\eta$ и $\nu$ соответственно. Описать состояния системы, составить размеченный граф состояний, уравнения Колмогорова и систему алгебраических уравнений для вычисления предельных вероятностей состояний системы. Привести пример количественного решения полученных уравнений в математической программе.
Двухканальная СМО с очередью на 4 заявки и конечной надежностью канала. В момент отказа заявки, которые обслуживались в канале, возвращаются в очередь, если там есть место, иначе теряются. Во время ремонта заявки в СМО не поступают. Интенсивности поступления и обслуживания заявок $\lambda$ и $\mu$ , соответственно. Интенсивности выхода из строя и ремонта канала $\eta$ и $\nu$ соответственно. Описать состояния системы, составить размеченный граф состояний, уравнения Колмогорова и систему алгебраических уравнений для вычисления предельных вероятностей состояний системы. Привести пример количественного решения полученных уравнений в математической программе.
Зачем нужно знать метод динамики средних?
Допущения при выводе моделей динамики средних.
В организации 2000 однотипных приборов, каждый из которых может быть в одном из трех состояний: исправен, находиться в ремонте в мастерской организации (МО), на ремонтном предприятии. Интенсивность выхода из строя $\lambda$ . В МО прибор может быть отремонтирован и возвращен в организацию, либо отправлен на ремонтное предприятие. Средняя длительность ремонта в МО $\tau_{1}$ , а интенсивность отправки на предприятие $\eta$ . Средняя длительность ремонта на предприятии $\tau_{2}$ . После ремонта на предприятии прибор возвращается в организацию. Составить аналитическую модель с целью определения средних численностей приборов в каждом состоянии. Привести пример количественного решения полученных уравнений в математической программе.
Сформулируйте принцип квазирегулярности. Когда возникает необходимость его применения?
Применение метода динамики средних при выводе модели противоборства двух сторон.
Как учесть в модели противоборства ввод резервов?
Как учесть в модели противоборства упреждающие удары одной из сторон?
Как учесть в модели противоборства отсутствие разведки в ходе обмена ударами?
Как учесть в модели противоборства запаздывание в переносе огня?