НОУ ИНТУИТ | Компьютерное моделирование. Лекция 3: Типовые математические модели

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 16.11.2010 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 50 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

2.8. Элементарные модели боя

Приемлемая по точности математическая модель такой сложной системы как бой невозможна из-за наличия неопределенных и неформализуемых факторов и уникальных ситуаций. Однако, приблизительные частные модели возможны и целесообразны для количественного обоснования некоторых решений, оценки обстановки, прогнозирования результатов решений и др.

Рассмотрим некоторые элементарные модели боя.

2.8.1. Модель высокоорганизованного боя

Постановка задачи

Две группировки А и Б ведут бой. В составе группировок А и Б $N_{1}$ и $N_{2}$ боевых единиц со скорострельностями $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ и вероятностями поражения цели при одном выстреле $P_{1}$ и $P_{2}$ соответственно. Каждая группировка однородна, но не обязательно группировки однородны между собой. Например, бой танков с танками, танков с противотанковыми средствами, истребителей с бомбардировщиками и т. п.

Высокоорганизованным боем называют бой с полной информацией, а именно:

любая боевая единица одной стороны, пока она не поражена, может вести огонь по любой непораженной боевой единице другой стороны;
разведка, связь и управление идеальны, то есть перенос огня каждого средства на новую цель происходит мгновенно после поражения предыдущей цели;
пораженная боевая единица в дальнейших действиях не участвует, то есть за время боя не восстанавливается, пополнения сторон нет;
временем полета носителя заряда пренебрегаем;
перенос огня не влияет на скорострельность и вероятность поражения;
количество боеприпасов неограниченно;
противоборствующие группировки достаточно многочисленны (это необходимое допущение будет обосновано при моделировании).

При этих допущениях процесс динамики боя двух группировок может рассматриваться как случайный марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем, для которого могут быть получены уравнения динамики средних, позволяющие определить для любого момента времени средние численности сторон.

Цель моделирования. Прогнозирование средних количеств пораженных и непораженных боевых единиц каждой группировки на любой момент времени.

Моделирование

Описание состояний одной боевой единицы

Каждое средство противоборствующих сторон А и Б может находиться в одном из двух состояний соответственно:

$S_{1}(S_{2})$ - не поражено;

$S^{'}_{1}(S^{'}_{2})$ - поражено.

Построение размеченных графов состояний

Графы состояний для каждой группировки элементарны (рис. 2.21).

Рис. 2.21. Граф состояний противоборствующих сторон

Интенсивность $\tilde{\lambda}_{2}$ - интенсивность потока поражающих выстрелов стороны Б, приходящихся на одну боевую единицу стороны А, то есть переводящих ее из состояния $S_{1}$ в состояние $S^{'}_{1}$ .

Аналогичные рассуждения объясняют $\tilde{\lambda}_{1}$ . Очевидно, для начального состояния ( t = 0 ):

$\tilde{\lambda}_{2} = \cfrac{\lambda_2 N_2 P_2}{N_1};\; \tilde{\lambda}_{1} = \cfrac{\lambda_1 N_1 P_1}{N_2}.$

Составление уравнений динамики средних

В ходе боя численности боеспособных единиц сторон будут случайным образом изменяться (уменьшаться, так как пополнение средств поражения сторон мы пока не рассматриваем). Обозначим эти случайные численности каждой стороны $x_{1}(t)$ и $x_{2}(t)$ соответственно. Тогда:

$\tilde{\lambda}_{2} = \cfrac{\lambda_2 P_2 x_2(t)}{x_1(t)}; \tilde{\lambda}_{1} = \cfrac{\lambda_1 P_1 x_1(t)}{x_2(t)}.$

Зависимость $\lambda_{2}(t)$ и $\lambda_{1}(t)$ от случайных значений $x_{2}(t)$ и $x_{1}(t)$ делает аналитическое решение задачи практически невозможным. Поэтому, используя принцип квазирегулярности, заменим $x_{2}(t)$ и $x_{1}(t)$ их матожиданиями $m_{2}(t)$ и $m_{1}(t)$ .

Заметим, что $m_{1}(t)$ и $m_{2}(t)$ являются целью моделирования.

После замены выражения для $\tilde{\lambda}_{2}$ и $\tilde{\lambda}_{1}$ принимают вид:

$\tilde{\lambda}_{2} = \cfrac{\lambda_2 P_2 m_2(t)}{m_1(t)};\; \tilde{\lambda}_{1} = \cfrac{\lambda_1 P_1 m_1(t)}{m_2(t)}.$

Запишем уравнения динамики средних для состояний $S_{1}$ и $S_{2}$ :

$\left \{ \begin{array}{l} \cfrac{dm_1(t)}{dt} = - \cfrac{\lambda_2 P_2 m_2(t)}{m_1(t)} \cdot m_1(t);\\ \cfrac{dm_2(t)}{dt} = - \cfrac{\lambda_1 P_1 m_1(t)}{m_2(t)} \cdot m_2(t).\\ \end{array}$

Для состояний $S^{'}_{1}$ и $S^{'}_{2}$ уравнения не нужны, так как средние численности этих состояний $m^{'}_{1}(t)$ и $m^{'}_{2}(t)$ однозначно связаны с $m_{1}(t)$ и $m_{2}(t)$ :

$m_{1}(t) + m^{'}_{1}(t) = N_{1};\; m_{2}(t) + m^{'}_{2}(t) = N_{2}.$

После очевидного упрощения уравнения динамики средних принимают вид:

$\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cfrac{{d{m_1}\left( t \right)}}{{dt}} = - {\lambda _2}{P_2}{m_2}\left( t \right);} \\ {\cfrac{{d{m_2}\left( t \right)}}{{dt}} = - {\lambda _1}{P_1}{m_1}\left( t \right).} \end{array}} \right.}&{\left( {2.3} \right)} \end{array}$

Здесь и далее для лучшей обозримости аргумент в $m_{1}(t)$ и $m_{2}(t)$ опустим.

Систему уравнений (2.3) обычно называют уравнениями динамики боя, иногда - уравнениями Ланчестера. Ланчестер - полковник английской армии времен первой мировой войны. Именно он предложил излагаемые подходы формализации боевых действий.

Решение уравнений динамики средних

Искомые численности сторон $m_{1}$ и $m_{2}$ находятся интегрированием системы (2.3) при начальных условиях:

$t = 0,\; m_{1} = N_{1},\; m_{2} = N_{2}.$

Решение имеет вид:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{m_1} = {N_1}\operatorname{ch} \left( {\sqrt {{\lambda _1}{P_1}{\lambda _2}{P_2}} \cdot t} \right) - {N_2}\sqrt {\cfrac{{{\lambda _2}{P_2}}}{{{\lambda _1}{P_1}}}} \operatorname{sh} \left( {\sqrt {{\lambda _1}{P_1}{\lambda _2}{P_2}} \cdot t} \right);} \\ {{m_2} = {N_2}\operatorname{ch} \left( {\sqrt {{\lambda _1}{P_1}{\lambda _2}{P_2}} \cdot t} \right) - {N_1}\sqrt {\cfrac{{{\lambda _1}{P_1}}}{{{\lambda _2}{P_2}}}} \operatorname{sh} \left( {\sqrt {{\lambda _1}{P_1}{\lambda _2}{P_2}} \cdot t} \right).} \end{array}} \right.$

Для лучшей обозримости введем обозначения:

$\Lambda_{1} = \lambda_{1} P_{1}$ - эффективная скорострельность стороны А;

$\Lambda_{2} = \lambda_{2} P_{2}$ - эффективная скорострельность стороны Б.

Эффективные скорострельности характеризуют плотности потоков успешных выстрелов соответствующей стороны.

$\mu_{1} = \cfrac{m_1}{N_1}$ - доля боеспособных единиц стороны А;

$\mu_{2} = \cfrac{m_2}{N_2}$ - доля боеспособных единиц стороны Б;

$\chi = \cfrac{N_1\sqrt{\Lambda_1}}{N_2\sqrt{\Lambda_2}}$ - коэффициент преимущества стороны А над стороной Б;

$\tilde{t} = \sqrt{\Lambda_1\Lambda_2}\cdot t$ - приведенное время.

С учетом этих обозначений решение модели высокоорганизованного боя выглядит так:

$\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mu _1} = \operatorname{ch} \tilde t - \cfrac{1}{\chi }\operatorname{sh} \tilde t;} \\ {{\mu _2} = \operatorname{ch} \tilde t - \chi \operatorname{sh} \tilde t.} \end{array}} \right.}&{\left( {2.4} \right)} \end{array}$

Графически варианты решений модели в зависимости от коэффициента превосходства представлены на рис. 2.22.

Рис. 2.22. Графики решений уравнений динамики средних

Из формул видно, что убывание численности группировок в большей мере зависит от соотношения сил $N_{2} / N_{1}$ , чем от соотношения эффективных скорострельностей $\Lambda_{2} / \Lambda_{1}$ : первое отношение входит в формулы непосредственно, а второе - под знаком корня. Увеличение начальной численности $N_{1}$ в два раза удваивает параметр $\chi$ , тогда как удвоение $\Lambda_{1}$ увеличивает $\chi$ только в $\sqrt{2} = 1,4$ раза. Поэтому повышение скорострельности менее выгодно.

В рамках данной модели при $\chi > 1$ выигрывает бой сторона А, при $\chi < 1$ - сторона Б.

Кривые $\mu = f(\tilde{t})$ на рис. 2.22 оборваны до достижения нуля, так как при малочисленных группировках метод динамики средних дает большие ошибки.

Если силы сторон равны ( $\chi = 1$ ), то динамика сохранения сил сторон одинакова; $\mu_1 = \mu_{2}$ в любой момент боя. Бой будет продолжаться до определенного уровня истощения сил, после чего неизбежны попытки политического решения конфликта.

В рамках этой модели бой заканчивается разгромом слабой стороны тем быстрее, чем больше превосходство другой. Победа в этой модели достигается числом, не уменьем. Не учитывается опыт, способности командиров, обученность личного состава. Впрочем, параметр косвенно учитывает обученность экипажей средств поражения.

Пример 2.11. Группировка, в составе которой 270 противотанковых средств (ПТС), находится в обороне. Скорострельность каждого ПТС 6 выстр./мин, вероятность поражения одним ПТС одного танка равна 0,3. Скорострельность танка 4 выстр./мин, вероятность поражения одним танком одного ПТС 0,25 при коэффициенте превосходства 1,2.

Спрогнозировать, сколько нужно танков, чтобы прорвать оборону при полном уничтожении ПТС группировки.

Решение

Известно, что

$\chi = \cfrac{N_1\sqrt{\Lambda_1}}{N_2\sqrt{\Lambda_2}};$

откуда

$N_1 = \cfrac{N_2\chi}{\cfrac{\sqrt{\Lambda_1}}{\sqrt{\Lambda_2}}} = \cfrac{270*1,2}{\cfrac{\sqrt{4*0,25}}{\sqrt{6*0,3}}} = 440.$

Заметим, коэффициент преимущества $\chi$ не имеет иного смысла, кроме упрощения формул для вычисления $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ . Поэтому результаты расчетов не имеют оперативно-тактического обоснования.

Задача 2.12. Сторона А имеет 30 огневых средств со скорострельностью каждого 5 выстр./мин и вероятностью поражения 0,2. Сторона Б имеет 40 огневых средств со скорострельностью каждого 4 выстр./мин и вероятностью поражения 0,3.

Провести расчеты для прогноза исхода боя, времени его окончания и количества сохранившихся огневых средств у победившей стороны.

Решение

Исходные данные

$N_{1} = 30,\; \lambda_1 = 5 \ выстр./мин,\; P_{1} = 0,2;\\ N_{2} = 40,\; \lambda_1 = 4 \ выстр./мин,\; P_{1} = 0,3.$

Прогнозирование исхода боя

Составим соотношения превосходства сторон:

$\chi_{12} = \cfrac{N_1}{N_2}\sqrt{\cfrac{\lambda_1 P_1}{\lambda_2 P_2}} = \cfrac{30}{40}\sqrt{\cfrac{5*0,2}{4*0,3}} = 0,68;\; \chi_{21} = \cfrac{1}{\chi_{12}} = \cfrac{1}{0,68}=1,46.$

Так как $\chi_{21} > \chi_{12}$ , то преимущество будет у стороны Б, то есть победить должна сторона Б.

Прогнозирование времени окончания боя

Бой продолжается до полной победы, то есть $\mu_1 = 0$ или из (2.4)

$\begin{array}{*{20}{l}} {{\mu _1} = \operatorname{ch} \tilde t - {\chi _{21}}\operatorname{sh} \tilde t = 0.}&{\left( {2.5} \right)} \end{array}$

Учтем, что ${\operatorname{ch} ^2}\tilde t - {\operatorname{sh} ^2}\tilde t = 1$ , откуда

$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\operatorname{ch} }^2}\tilde t = 1 + {{\operatorname{sh} }^2}\tilde t.}&{\left( {2.6} \right)} \end{array}$

С другой стороны, из (2.5) $\operatorname{ch} \tilde t = {\chi _{21}}\operatorname{sh} \tilde t$ .

Из выражений (2.5) и (2.6) имеем:

$\begin{array}{*{20}{l}} {1 + {{\operatorname{sh} }^2}\tilde t = \chi _{21}^2{{\operatorname{sh} }^2}\tilde t,\;1 = {{\operatorname{sh} }^2}\tilde t(\chi _{21}^2 - 1),\;{{\operatorname{sh} }^2}\tilde t = \cfrac{1}{{\chi _{21}^2 - 1}},} \\ {\operatorname{sh} \tilde t = \sqrt {\cfrac{1}{{\chi _{21}^2 - 1}}} ,\;\tilde t = \operatorname{arcsh} \sqrt {\cfrac{1}{{\chi _{21}^2 - 1}}} .} \end{array}$

Так как $\tilde{t} = \sqrt{P_1\lambda_1 P_2\lambda_2}t$ , то $t = \cfrac{\operatorname{arcsh}\sqrt{\cfrac{1}{\chi^2_{21} - 1}}}{\sqrt{P_1\lambda_1 P_2\lambda_2}}$ .

$t = \cfrac{\operatorname{arcsh}\sqrt{\cfrac{1}{1,46^2 - 1}}}{\sqrt{5*0,2*4*0,3}} = \cfrac{\operatorname{arcsh} 0,94}{\sqrt{1,2}} = \cfrac{0,84}{1,095} = 0,767.$

Определение количества огневых средств, сохранившихся у стороны Б

$\mu_2 = \ch\tilde{t} - \cfrac{1}{\chi_{21}}\sh\tilde{t}.$

Так как из выражения (2.5) $\ch\tilde{t} = \chi_{21}\sh\tilde{t}$ , то

$\begin{array}{*{20}{l}} {{\mu _2} = \left( {{\chi _{21}} - \cfrac{1}{{{\chi _{21}}}}} \right)\operatorname{sh} \tilde t = ({\chi _{21}} - {\chi _{12}})\operatorname{sh} \tilde t = } \\ { = (1,46 - 0,68)\operatorname{sh} \tilde t = 0,78*0,94 = 0,73.} \end{array}$

Теперь $m_{2} = \mu_{2}N_{2} = 0,73*40 = 29,2$ .

К концу боя у стороны Б останется от 29 до 30 огневых средств, тогда как огневые средства стороны А будут полностью уничтожены.

Приведенные результаты прогноза исхода боя двух группировок являются приблизительными, оценочными, так как при малых количествах огневых средств ( $\mu_1 \to 0$ ) метод динамики средних, лежащий в основе уравнений динамики боя, может давать существенные ошибки.

Дальше >>

Компьютерное моделирование

Компьютерное моделирование