НОУ ИНТУИТ | Комбинаторные алгоритмы для программистов. Лекция 5: Комбинаторика разбиений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Число сочетаний

Рассмотрим подмножества множества, состоящего из пяти элементов, и подсчитаем их число. При этом записывать подмножества будем не с помощью букв, как обычно, а в виде последовательностей длиной пять, составленных из нулей и единиц. Каждая из единиц указывает на наличие в подмножестве соответствующего элемента. Например, подмножества, содержащие один элемент, будут изображаться следующими последовательностями: 10000, 01000, 00100, 00010, 00001. Пустое подмножество $\emptyset$ будет соответствовать последовательности 00000. Подмножества, содержащие по два элемента из пяти, запишутся с помощью следующих последовательностей: 11000, 10100, 10010, 10001, 01100. 01010, 01001, 00110, 00101, 00011. Всего их C_5^2=10.

Вообще, число сочетаний из элементов по равно числу всевозможных последовательностей из единиц и n -
m нулей.

Задачи на разбиение чисел

Теперь мы переходим к задачам, в которых все разделяемые предметы совершенно одинаковы. В этом случае можно говорить не о разделении предметов, а о разбиении натуральных чисел на слагаемые (которые, конечно, тоже должны быть натуральными числами).

Здесь возникает много различных задач. В одних задачах учитывается порядок слагаемых, в других - нет.

Задача 4. Отправка бандероли.

За пересылку бандероли надо уплатить 18 рублей. Сколькими способами можно оплатить ее марками стоимостью 4, 6, и 10 рублей, если два способа, отличающиеся порядком марок, считаются различными (запас марок различного достоинства считаем неограниченным)?

Обозначим через f(N) число способов, которыми можно наклеить марки в 4, 6 и 10 рублей так, чтобы общая стоимость этих марок равнялась Тогда для f(N) справедливо следующее соотношение:

( 5.4)

Пусть имеется некоторый способ наклейки марок с общей стоимостью

и пусть последней наклеена марка стоимостью 4 рубля. Тогда все остальные марки стоят ( N - 4

) рубля. Наоборот, присоединяя к любой комбинации марок общей стоимостью ( N - 4

) рубля одну четырехрублевую марку, получаем комбинацию марок стоимостью

рублей. При этом из разных комбинаций стоимостью ( N - 4

) рублей получается разные комбинации стоимостью

рублей. Итак, число искомых комбинаций, где последней наклеена марка стоимостью 4 рубля, равно f(N - 4).

Точно так же доказывается, что число комбинаций, оканчивающихся на шестирублевую марку, равно f(N - 6), а на десятирублевую марку оканчиваются f(N - 10) комбинацией. Поскольку любая комбинация оканчивается на марку одного из указанных типов, то по правилу суммы получаем соотношение 5.4.

Соотношение 5.4 позволяет свести задачу о наклеивании марок на сумму рублей к задачам о наклеивании марок на меньшие суммы. Но при малых значениях задачу легко решить непосредственно. Простой подсчет показывает, что

$f(0)=1,f(1)=f(2)=f(3)=0,f(4)=1,f(5) = 0,\\ f(6) = 1,f(7)=0,f(8)=1,f(9)=0.$

Равенство

означает, что сумму в 0 рублей можно уплатить единственным образом: совсем не наклеивая марок. А сумму в 1,2,3,5,7 и 9 рублей вообще никак нельзя получить с помощью марок стоимостью 4, 6 и 10 рублей. Используя значения f(N)

для

легко найти f(10):

После этого находим

и т.д. Наконец, получаем значение f(18)=8.

Таким образом, марки можно наклеить восемью способами. Эти способы таковы: 10,4,4

;

;

;

;

;

;

;

Отметим, что значения f(N)

для

можно было получить иначе, не приводя непосредственно проверки. Дело в том, что при N <
0

имеем

поскольку отрицательную сумму нельзя уплатить, наклеивая неотрицательное количество марок. В то же время, как мы видели, f(0) = 1.

Поэтому

Точно так же получаем значение f(2)=0,f(3)=0, а для N
= 4 имеем f(4)=f(0)+f(-2)+f(-6)=1.

Задача 5.Общая задача о наклейке марок.

Разобранная задача является частным случаем следующей общей задачи: Имеются марки достоинством в $n_1,n_2,\ldots,n_k.$ Сколькими способами можно оплатить с их помощью сумму в рублей, если два способа, отличающиеся порядком, считаются различными? Все числа $n_1,n_2 ,\ldots,n_k$ различны, а запас марок неограничен. Здесь на первом месте мы будем указывать число слагаемых, на втором – разбиваемое число и на последнем - ограничения на величину слагаемых.

В этом случае число f(N) способов удовлетворяет соотношению

$f(N) = f(N - n_1 ) + f(N - n_2 ) + \ldots + f(N - n_k).$

( 5.5)

При этом

если

и

С помощью соотношения 5.5 можно найти f(N)

для любого

последовательно вычисляя $f(1),f(2),\ldots,f(N-1).$

Рассмотрим частный случай этой задачи, когда $n_1= 1,n_2 = 2,\ldots ,$ n_k = k. Мы получаем всевозможные разбиения числа на слагаемые $1,2,\ldots,k,$ причем разбиения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными. Обозначим число этих разбиений через $\varphi(k;N).$ ( На первом месте мы будем указывать число слагаемых, на втором - разбиваемое число и на последнем – ограничения на величину слагаемых.) Из соотношения 5.5 следует, что

$\varphi(k;N-1)+\varphi(k;N-2)+\ldots+\varphi(k;N-k).$

( 5.6)

При этом $\varphi (k;0) = 1$ и $\varphi(k;N)= 0,$ если N <0.

Вычисление $\varphi (N;k)$ можно упростить, если заметить, что

$\varphi (N-1;k)=\varphi(N-2;k)+\varphi(N-k-1;k),$

и потому

$\varphi(N;k)=2\varphi(N-1;k)-\varphi (N - k - 1;k).$

( 5.7)

Ясно, что слагаемые не могут быть больше

Поэтому $\varphi(N,N)$ равно числу всех разбиений на

на натуральные слагаемые (включая и "разбиение" N = N.

Если число слагаемых равно

то получаем $C_{N - 1}^{s - 1}$ разбиений. Поэтому

$\varphi(N,N)=C_{N-1}^0+C_{N-1}^1+\ldots+C_{N-1}^{N-1}=2^{N-1}.$

Итак, мы доказали, что натуральное число

можно разбить на слагаемые $2^{N - 1}$ способами. Напомним, что при этом учитывается порядок слагаемых.Например, число 5 можно разбить на слагаемые $2^{5 - 1} = 16$ способами.

5 = 5	5 = 3 + 1 + 1	5 = 1 + 2 + 2
5 = 4 + 1	5 = 1 + 3+ 1	5 = 2 + 1 + 1 + 1
5 = 1 + 4	5 = 1 + 1 + 3	5 = 1 + 2 + 1 + 1
5 = 2 + 3	5 = 2 + 2 + 1	5 = 1 + 1 + 2 + 1
5 = 3 + 2	5 = 2 + 1 + 2	5 = 1 + 1 + 1 + 2
		5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Комбинаторные задачи теории информации

Информация - сведения, неизвестные до их получения, или данные, или значения, приписанные данным.

Теория информации - математическая дисциплина, изучающая количественные свойства информации.

Задачу, похожую на только что решенную, приходится решать в теории информации. Предположим, что сообщение передается с помощью сигналов нескольких типов. Длительность передачи сигнала первого типа равна t_1, второго типа - $t_2,\ldots,k$ -го типа - t_k единиц времени.

Задача 6. Сколько различных сообщений можно передать с помощью этих сигналов за единиц времени? При этом учитываются лишь "максимальные" сообщения, то есть сообщения, к которым нельзя присоединить ни одного сигнала, не выйдя за рамки отведенного для передачи времени.

Обозначим число сообщений, которые можно передать за время через f(T). Рассуждая точно так же, как и в задаче о марках, получаем, что f(T) удовлетворяет соотношению