Комбинаторика разбиений

Число сочетаний

Рассмотрим подмножества множества, состоящего из пяти элементов, и подсчитаем их число. При этом записывать подмножества будем не с помощью букв, как обычно, а в виде последовательностей длиной пять, составленных из нулей и единиц. Каждая из единиц указывает на наличие в подмножестве соответствующего элемента. Например, подмножества, содержащие один элемент, будут изображаться следующими последовательностями: 10000, 01000, 00100, 00010, 00001. Пустое подмножество будет соответствовать последовательности 00000. Подмножества, содержащие по два элемента из пяти, запишутся с помощью следующих последовательностей: 11000, 10100, 10010, 10001, 01100. 01010, 01001, 00110, 00101, 00011. Всего их

Вообще, число сочетаний из элементов по равно числу всевозможных последовательностей из единиц и нулей.

Задачи на разбиение чисел

Теперь мы переходим к задачам, в которых все разделяемые предметы совершенно одинаковы. В этом случае можно говорить не о разделении предметов, а о разбиении натуральных чисел на слагаемые (которые, конечно, тоже должны быть натуральными числами).

Здесь возникает много различных задач. В одних задачах учитывается порядок слагаемых, в других - нет.

Задача 4. Отправка бандероли.

За пересылку бандероли надо уплатить 18 рублей. Сколькими способами можно оплатить ее марками стоимостью 4, 6, и 10 рублей, если два способа, отличающиеся порядком марок, считаются различными (запас марок различного достоинства считаем неограниченным)?

Обозначим через число способов, которыми можно наклеить марки в 4, 6 и 10 рублей так, чтобы общая стоимость этих марок равнялась Тогда для справедливо следующее соотношение:

Пусть имеется некоторый способ наклейки марок с общей стоимостью и пусть последней наклеена марка стоимостью 4 рубля. Тогда все остальные марки стоят ( ) рубля. Наоборот, присоединяя к любой комбинации марок общей стоимостью ( ) рубля одну четырехрублевую марку, получаем комбинацию марок стоимостью рублей. При этом из разных комбинаций стоимостью ( ) рублей получается разные комбинации стоимостью рублей. Итак, число искомых комбинаций, где последней наклеена марка стоимостью 4 рубля, равно

Точно так же доказывается, что число комбинаций, оканчивающихся на шестирублевую марку, равно а на десятирублевую марку оканчиваются комбинацией. Поскольку любая комбинация оканчивается на марку одного из указанных типов, то по правилу суммы получаем соотношение 5.4.

Соотношение 5.4 позволяет свести задачу о наклеивании марок на сумму рублей к задачам о наклеивании марок на меньшие суммы. Но при малых значениях задачу легко решить непосредственно. Простой подсчет показывает, что

Равенство означает, что сумму в 0 рублей можно уплатить единственным образом: совсем не наклеивая марок. А сумму в 1,2,3,5,7 и 9 рублей вообще никак нельзя получить с помощью марок стоимостью 4, 6 и 10 рублей. Используя значения для легко найти После этого находим и т.д. Наконец, получаем значение Таким образом, марки можно наклеить восемью способами. Эти способы таковы: ; ; ; ; ; ; ; Отметим, что значения для можно было получить иначе, не приводя непосредственно проверки. Дело в том, что при имеем поскольку отрицательную сумму нельзя уплатить, наклеивая неотрицательное количество марок. В то же время, как мы видели, Поэтому

Точно так же получаем значение а для имеем

Задача 5.Общая задача о наклейке марок.

Разобранная задача является частным случаем следующей общей задачи: Имеются марки достоинством в Сколькими способами можно оплатить с их помощью сумму в рублей, если два способа, отличающиеся порядком, считаются различными? Все числа различны, а запас марок неограничен. Здесь на первом месте мы будем указывать число слагаемых, на втором – разбиваемое число и на последнем - ограничения на величину слагаемых.

В этом случае число способов удовлетворяет соотношению

При этом если и С помощью соотношения 5.5 можно найти для любого последовательно вычисляя

Рассмотрим частный случай этой задачи, когда Мы получаем всевозможные разбиения числа на слагаемые причем разбиения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными. Обозначим число этих разбиений через ( На первом месте мы будем указывать число слагаемых, на втором - разбиваемое число и на последнем – ограничения на величину слагаемых.) Из соотношения 5.5 следует, что

При этом и если Вычисление можно упростить, если заметить, что и потому Ясно, что слагаемые не могут быть больше Поэтому равно числу всех разбиений на на натуральные слагаемые (включая и "разбиение" Если число слагаемых равно то получаем разбиений. Поэтому Итак, мы доказали, что натуральное число можно разбить на слагаемые способами. Напомним, что при этом учитывается порядок слагаемых.Например, число 5 можно разбить на слагаемые способами.

Комбинаторные задачи теории информации

Информация - сведения, неизвестные до их получения, или данные, или значения, приписанные данным.

Теория информации - математическая дисциплина, изучающая количественные свойства информации.

Задачу, похожую на только что решенную, приходится решать в теории информации. Предположим, что сообщение передается с помощью сигналов нескольких типов. Длительность передачи сигнала первого типа равна второго типа - -го типа - единиц времени.

Задача 6. Сколько различных сообщений можно передать с помощью этих сигналов за единиц времени? При этом учитываются лишь "максимальные" сообщения, то есть сообщения, к которым нельзя присоединить ни одного сигнала, не выйдя за рамки отведенного для передачи времени.

Обозначим число сообщений, которые можно передать за время через Рассуждая точно так же, как и в задаче о марках, получаем, что удовлетворяет соотношению

При этом снова если и .