НОУ ИНТУИТ | Комбинаторные алгоритмы для программистов. Лекция 2: Целые и последовательности (последовательное распределение)

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Различные способы представлений конечных последовательностей (или начальных сегментов бесконечных последовательностей) и операции над ними

Последовательное распределение. С вычислительной точки зрения простейшим представлением конечной последовательности является список ее членов, расположенных по порядку в последовательных ячейках памяти.

Рис. 2.1.

Так, s_1 хранится, начиная с ячейки l_1 , s_2 хранится, начиная с ячейки l_2 = l_1 + d, s_3 хранится, начиная с ячейки l_3 = l_1 + 2d и так далее, где - число ячеек, требуемых для хранения одного элемента последовательности.

Описанное выше представление последовательности имеет ряд преимуществ. Во-первых, оно легко осуществимо и требует небольших расходов в смысле памяти. Кроме того, оно полезно и потому, что существует простое соотношение между и адресом ячейки, в которой хранится s_i :

Это соотношение позволяет организовать прямой доступ к любому элементу последовательности. Наконец, последовательное представление имеет достаточно широкий диапазон и включает в себя в качестве специального случая представление многомерных массивов.

Например, чтобы представить массив размером $n \times m$

$\left( {\begin{array}{*{20}c} {a_{11} } & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1m} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\ldots } & {a_{2m} } \\ . &. &. &. \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nm} } \\ \end{array} } \right)$

( 2.4)

будем рассматривать его как последовательность $s_1,s_2,\ldots,s_n ,$ в которой каждое s_i

в свою очередь является последовательностью из

элементов

-й строки нашей матрицы. Таким образом, число ячеек, требуемых для записи элемента s_i

(будем обозначать это число символом

), равно $m\bar d,$ где $\bar d$ - число ячеек, требуемых для записи элемента $a_{ij} .$ Поскольку последовательность s_i

начинается в ячейке

$l_i = l_1 + (i - 1)d = l_1 + (i - 1)m\bar d,$

ячейка для $a_{ij}$ будет иметь следующий адрес:

$l_i + (j - 1)\bar d = l_1 + [(i - 1)m + (j - 1)]\bar d.$

Это представление известно как построчная запись матрицы ; постолбцовая запись получается, если (2.4) рассматривать как последовательность $t_1,t_2,\ldots t_m$ в которой каждое t_i

в свою очередь является последовательностью из элементов

-го столбца матрицы.

Последовательное распределение, наряду с преимуществами, имеет значительные недостатки. Например, такое представление становится неудобным, если требуется изменить последовательность путем включения новых и исключения имеющихся там элементов. Включение между s_i и $s_{i + 1}$ нового элемента требует сдвига $s_{i + 1},s_{i + 2},\ldots,s_n$ вправо на одну позицию; аналогично, исключение s_i требует сдвига тех же элементов на одну позицию влево. С точки зрения времени обработки, такое передвижение элементов может оказаться дорогостоящим, и в случае динамических последовательностей лучше использовать технику связного распределения, рассматриваемую в следующей лекции.

Характеристические векторы. Важной разновидностью последовательного распределения является случай, когда такому представлению подвергается последовательность некоторой основной последовательности $s_1,s_2,s_3 \ldots$ В этом случае можно представить последовательность более удобно, используя характеристический вектор - последовательность из нулей и единиц, где -й разряд равен единице, если s_i принадлежит рассматриваемой последовательности, и нулю в противном случае.

Например, характеристический вектор начального сегмента последовательности (2.3)

$s_i:\quad 1 \;2 \;3 \;4 \; 5\; 6\; 7\; 8\; 9\; 10$

характеристический вектор для простых чисел:

$\quad 0 \;1 \; 1\; 0\; 1\; 0\; 1\; 0\; 0\;0$

Здесь основной последовательностью является последовательность целых положительных чисел. В ЭВМ с 32-разрядными словами для запоминания простых чисел, меньших 10^6

, потребуется 10^6.32 = 31250

слов. Замечая далее, что для i > 1

число

не простое, можно сэкономить половину этого поля, выписывая разряды только для чисел видов $2i + 1,i \geqslant 1,$ и запоминая, что простое число 2 отсутствует. Таким образом, простые числа, меньшие чем 10^6 ,

можно записать только 15625 словами. Поскольку число простых чисел, меньших 10^6
,

равно 78498, последовательное представление, описанное ранее, потребовало бы поля в пять раз меньшего размера.

Характеристические векторы полезны в ряде случаев. Их полезность вытекает из их компактности, существования простого фиксированного соотношения между и адресом -го разряда и возможности при таком представлении очень легко исключать элементы.

Главное неудобство характеристических векторов состоит в том, что они не экономичны. Исключение составляют "плотные" последовательности последовательностей $s_1,s_2,s_3 \ldots .$ Кроме того, их трудно использовать, если не существует простого соотношения между и s_i . Если такое соотношение сложное, то использование характеристических векторов может быть очень не экономичным в смысле времени обработки. Если последовательности недостаточно плотные, то значительным может оказаться объем памяти. В случае простых чисел между и s_i имеется простое соотношение: s_i =
i (или s_i = 2i + 1, если использовать только нечетные числа). Теорема о простых числах утверждает, что число простых чисел, меньших приблизительно равно $n/ \ln n$ ; таким образом, простые числа относительно плотно распределены в множестве целых чисел.