Решения задач
И, наконец, равенство (7.8) следует из того, что собственные числа оператора имеют вид , где и — собственные числа и , соответственно.
7.3. Достаточно проверить для двух сомножителей. Имеем
где , ( ). Поэтому7.4 Обозначим . Будем искать оператор в виде , где унитарный оператор сохраняет . Для такого , очевидно, выполняется равенство
а эквивалентно тому, что для всех выполняется . Представляя , получаем эквивалентные условия на унитарный оператор : где .Теперь нам потребуется следующая лемма.
Лемма. Пусть и — подпространства конечномерного пространства , такие что , . Тогда найдется унитарный оператор , такой что и . (Значит, и .)
Доказательство. Возьмем оператор . Сразу видно, что он переводит в и в . Для нормы имеем оценку
Оператор не унитарный. Но из приведенной оценки следует, что он невырожденный. Рассмотрим унитарный оператор . Оператор сохраняет подпространство , поэтому переводит в . Для оценки нормы разложим в ряд Тейлора Поэтому , отсюда получаем .Чтобы применить лемму, необходимо оценить величину . Имеем ( приближает в расширенном смысле с точностью ). Обозначая , получаем
Итак, условие леммы выполнено (и задача решена) при .7.5 Схему для оператора можно построить, используя элемент Фредкина — управляемый обмен битами. Элемент Фредкина задается соотношениями
Его можно реализовать следующим образом: (заметим, что — это элемент Тоффоли).На рис. 15.7 показано, как из схемы для оператора , сохраняющего , построить схему для . В прямоугольниках происходит управляемый обмен q-битами (параллельно действует нужное количество элементов Фредкина). Если управляющий q-бит равен , то на вход схемы, вычисляющей , будет подан , в противном случае — .
7.6 Каждый из рассматриваемых поворотов порождает всюду плотное подмножество в подгруппе поворотов относительно фиксированной прямой. Поэтому осталось доказать, что повороты относительно двух различных прямых порождают . Для этого достаточно доказать, что подгруппа, порожденная всеми поворотами относительно двух различных прямых, действует транзитивно на сфере (или на проективной плоскости — множестве одномерных подпространств). Справедливость этого факта очевидна из рис. 15.8 (если можно перемещаться по двум семействам параллелей, то из любой точки на сфере можно попасть в любую другую). Строгое доказательство получается аналогично решению задачи 7.7.
Замечание. Это решение неконструктивно: нельзя дать никакой верхней оценки на количество поворотов , композиция которых приближает заданный элемент с заданной точностью . Причина неконструктивности состоит в следующем. Поворот на угол , где — иррациональное, порождает всюду плотное подмножество в группе поворотов относительно фиксированной прямой (эта группа, очевидно, изоморфна ). Однако число может очень хорошо приближаться рациональными числами (это имеет место, когда коэффициенты цепной дроби, представляющей , очень быстро растут). Тогда любое приближается элементами вида ( ) с любой точностью , но число может быть сколь угодно велико: больше, чем любая наперед заданная функция .
Конструктивное доказательство и эффективный (при фиксированных и ) алгоритм построения аппроксимаций довольно сложны [4].
7.7 Обозначим , тогда — стабилизатор . Так что утверждение задачи приобретает вид: объединение стабилизаторов двух несовпадающих одномерных подпространств порождает .
Достаточно показать, что группа , порожденная , действует транзитивно на множестве единичных векторов. Действительно, пусть для каждого найдется оператор , такой что . Тогда
Доказываем транзитивность действия группы . Заметим, что
где обозначают углы между и , соответственно: , , . В последующих формулах используется также угол между векторами и : ,\, .
Можно проверить, что при
Поэтому и т.д. Таким образом, действуя на вектор попеременно элементами из и достаточное количество раз, можно получить любой единичный вектор .7.8 Поскольку , то стандартный базис содержит полный базис для классических обратимых вычислений (см. задачу 6.1). Это, благодаря задаче 7.5, позволяет реализовать операторы для всех элементов базиса, кроме .
Теперь рассмотрим оператор , который, в силу сказанного, реализуется в стандартном базисе (оператор сохраняет ). Подействуем им на двумя возможными способами: , . Операторы , также реализуются в стандартном базисе.
Заметим, что операторы , (следовательно, и , ) сохраняют векторы и . Кроме того, вычислениями проверяется, что , не коммутируют и имеют, помимо 1, собственные числа . В оператору с такими собственными числами соответствует поворот на угол . Поскольку не являются корнями из (и даже целыми алгебраическими числами, так как их след равен ), угол несоизмерим с . А поскольку эти операторы не коммутируют, им соответствуют повороты вокруг различных прямых. Поэтому , порождают всюду плотное подмножество в , где (см. задачу 7.6).
Для завершения доказательства дважды применим результат задачи 7.7. Операторы , порождают всюду плотное множество в , оператор сохраняет и не сохраняет . Так что , , , порождают всюду плотное множество в . Оператор не сохраняет ; применяя результат задачи 7.7 еще раз, получаем всюду плотное множество в .
7.9 Из предыдущей задачи следует, что можно реализовать оператор с точностью до фазового множителя, . Оператор реализуется точно. Возьмем дополнительный q-бит в состоянии и применим . Неизвестный фазовый множитель сокращается.
7.10 В базисе , оператор диагонализуется, так что в этом базисе имеет вид
А раз — иррациональное число, степенями можно приближенно реализовать любой оператор вида , который в указанном выше базисе имеет матрицу , где , . В геометрической интерпретации эти операторы соответствуют поворотам вокруг оси . При и получаем элемент Тоффоли: (при подходящем ), так что уже имеем полный классический базис. При и получаем (на третий q-бит этот оператор действует тождественным образом). Из можно сделать , подавая на управляющий q-бит константу . С точностью до фазового множителя — это поворот на вокруг оси , а композициями поворотов вокруг и одного поворота вокруг представляются все элементы (аналогично задаче 7.7).Итак, мы получили реализацию всех операторов из с точностью до фазового множителя. Осталось использовать задачу 7.9 для того, чтобы реализовать .
7.11 Любое вращение трехмерного пространства представляется как композиция трех поворотов: на угол вокруг оси , затем на угол вокруг оси , затем на угол вокруг оси . Поэтому любой оператор, действующий на одном q-бите, представляется в виде
( *) |
Каждый из операторов в правой части выражается через и управляемые фазовые сдвиги:
Таким образом, для решения задачи достаточно построить схему, представляющую управляемый фазовый сдвиг с точностью .
Выберем такое , что . Предположим, что у нас в распоряжении есть -битовый регистр в состоянии
Заметим, что — собственный вектор классического оператора : Применяя к оператор , управляемый дополнительным q-битом, получаем искомый фазовый сдвиг на этом q-бите:(Классический) оператор можно задать схемой линейного размера в стандартном базисе. Если — нечетно, то выбором подходящего можно представить оператор с точностью .
Вместо того, чтобы строить схему, порождающую , будем брать смесь при разных , измерять значение и выбирать , соответствующее этому измеренному значению. Опишем требуемые действия.
- Создаем вектор Заметим, что реализуется точно в стандартном базисе.
- Произведем измерение с вероятностью ошибки ; оно может быть представлено оператором где , а векторы и — единичной длины. Заметим, что точность — квадратный корень из вероятности ошибки:
- Найдем такое , что .
- Применим к рабочему -битовому регистру, используя бит, в котором нужно сделать фазовый сдвиг, в качестве управляющего.
- Обратим вычисления, сделанные на шагах 1 — 3.
Чтобы вероятность ошибки была меньше , нужны элементарных измерений для каждого из операторов , , . Поскольку , общий размер схемы — .