НОУ ИНТУИТ | Классические и квантовые вычисления. Лекция 1: Решения задач

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 15.03.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Из раздела 7

7.1 Из доказательства теоремы 7.1 следует, что достаточно научиться реализовывать все операторы вида $\Lambda(X)$ , $X\inU(2)$ (управляемый двумя q-битами фазовый сдвиг на является частным случаем: $\Lambda^2(-i)=\Lambda(K^{-1})$ ). Для алгоритма построения схемы требуется также конструктивное доказательство леммы 7.1.

Сперва реализуем управляемый фазовый сдвиг:

$\Lambda(P(\phi))[1,2]=E(\phi)[1], \quad \text{где } P(\phi)=\begin{pmatrix} e^{i\phi}&0\\ 0&e^{i\phi} \end{pmatrix},\quad E(\phi)=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&e^{i\phi} \end{pmatrix}.$

Поскольку $\Lambda(XY)=\Lambda(X)\Lambda(Y)$ , то остается реализовать операторы

из

, где

— подгруппа фазовых сдвигов. Можно считать, что $Y\in\SU(2)$ . Эта реализация изображена на рис. 15.5. Используемые в ней операторы

и

должны удовлетворять уравнению

$A\sx A^{-1} B\sx B^{-1}=Y.$

( *)

Геометрически уравнение (*)

эквивалентно такому утверждению: любое вращение трехмерного пространства есть композиция двух поворотов на угол $180^\circ$ . Доказательство этого утверждения можно усмотреть из рис. 15.6.

Рис. 15.5.

Рис. 15.6.

Осталось доказать лемму 7.1 конструктивно. Для начала заметим, что для любых чисел c_1,c_2 существует унитарная матрица размера $2\times 2$ (эффективно вычислимая с любой заданной точностью $\delta$ ), такая что

$V \left(\begin{array}{@{}c@{}} c_1\\c_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{@{}c@{}} \sqrt{|c_1|^2+|c_2|^2}\\0 \end{array}\right).$

Следовательно, для любого единичного вектора $\ket\xi\in\CC^M$ существует последовательность унитарных матриц $V^{(1)},\dots,V^{(M-1)}$ , такая что $V^{(1)}\cdot\ldots\cdot V^{(M-1)}\ket{\xi}=\ket{1}$ , где $V^{(s)}$ действует на подпространстве $\CC\bigl(\ket{s},\,\ket{s+1}\bigr)$ (как матрицы в условии леммы 7.1) и оставляет неизменными остальные базисные векторы.

Пусть теперь задана унитарная матрица размера $M\times M$ . Умножая $U^{-1}$ слева на подходящие матрицы $U^{(1,1)},\dots,U^{(1,M-1)}$ , можно перевести первый столбец в вектор $\ket{1}$ . При этом столбцы остаются ортогональными, поэтому первая строка переходит в $\bra{1}$ . Действуя таким же образом с остальными столбцами, получаем набор матриц $U^{(j,s)}$ \, ( $1\le j\le s\le M-1$ ) (где $U^{(j,s)}$ действует на $\ket{s}$ и $\ket{s+1}$ ), удовлетворяющий условию