НОУ ИНТУИТ | Классические и квантовые вычисления. Лекция 1: Решения задач

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 15.03.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

И, наконец, равенство (7.8) следует из того, что собственные числа оператора $(X\otimes Y)^\dagger(X\otimes Y)\double=X^\dagger X\otimes Y^\dagger Y$ имеют вид $\lambda_j\mu_k$ , где $\lambda_j$ и $\mu_k$ — собственные числа $X^\dagger X$ и $Y^\dagger Y$ , соответственно.

7.3. Достаточно проверить для двух сомножителей. Имеем

$\begin{align*} \tilde U_2\tilde U_1\left(\ket\xi\otimes\ket{0^{N-n}}\right)= \tilde U_2\left(U_1\ket\xi\otimes\ket{0^{N-n}}+\ket{\eta_1}\right)= \\= U_2U_1\ket\xi\otimes\ket{0^{N-n}}+\ket{\eta_2}+\tilde U_2\ket{\eta_1}, \end{align*}$

где $\big\|\ket{\eta_j}\big\|\le\delta_j$ , ( j=1,2

). Поэтому

$\bigl\|\tilde U_2\tilde U_1\bigl(\ket\xi\otimes\ket{0^{N-n}}\bigr)- U_2U_1\ket\xi\otimes\ket{0^{N-n}}\bigr\| \le \delta_1+\delta_2.$

7.4 Обозначим $\calM=\BB^{\otimes n}\otimes\ket{0^{N-n}}$ . Будем искать оператор в виде $W=(U\otimes I_{[n+1,\dots,N]})\Pi_\calM +\tilde W(I-\Pi_\calM)$ , где унитарный оператор $\tilde W$ сохраняет $\calM^\perp$ . Для такого , очевидно, выполняется равенство

$W\left(\ket\xi\otimes\ket{0^{N-n}}\right)= (U\ket\xi)\otimes\ket{0^{N-n}},$

а $\|W-\tilde U\|\le O(\delta)$ эквивалентно тому, что для всех $\ket\eta\in\calM^\perp$ выполняется $\rlap{\phantom{\raise1.5pt\hbox{\big\|}}} \big\|(\tilde W-\tilde U)\ket\eta\big\|=O(\delta)$ . Представляя $\tilde W= X\tilde U$ , получаем эквивалентные условия на унитарный оператор

:

$\|X-I\|=O(\delta),\qquad X\calL^\perp=\calM^\perp,$

где $\calL=\tilde U\calM$ .

Теперь нам потребуется следующая лемма.

Лемма. Пусть $\calL$ и $\calM$ — подпространства конечномерного пространства $\calN$ , такие что $\|\Pi_\calL-\Pi_\calM\|\leq\delta$ , $\delta<\slashfrac{1}{2}$ . Тогда найдется унитарный оператор , такой что $\|X-I\|=O(\delta)$ и $X\calL=\calM$ . (Значит, и $X\calL^\perp=\calM^\perp$ .)

Доказательство. Возьмем оператор $Y=\Pi_\calM\Pi_\calL+(I-\Pi_\calM)(I-\Pi_\calL)$ . Сразу видно, что он переводит $\calL$ в $\calM$ и $\calL^\perp$ в $\calM^\perp$ . Для нормы $\|Y-I\|$ имеем оценку

$\begin{multiline*} \|Y-I\|=\|\Pi_\calM\Pi_\calL-\Pi_\calM-\Pi_\calL+\Pi_\calM\Pi_\calL\|\leq \\ \leq \|(\Pi_\calM-\Pi_\calL)\Pi_\calL\|+ \|\Pi_\calM(\Pi_\calM-\Pi_\calL)\|\leq 2\delta<1. \end{multiline*}$

Оператор

не унитарный. Но из приведенной оценки следует, что он невырожденный. Рассмотрим унитарный оператор $X\double=Y(Y^\dagger Y)^{-1/2}$ . Оператор $Y^\dagger Y$ сохраняет подпространство $\calL$ , поэтому

переводит $\calL$ в $\calM$ . Для оценки нормы

разложим $(Y^\dagger Y)^{-1/2}$ в ряд Тейлора

$(Y^\dagger Y)^{-1/2} =I+\frac{1}{2}Z+\frac{3}{8}Z^2+\dots,\qquad \text{где } Z=I-Y^\dagger Y.$

Поэтому $\|(Y^\dagger Y)^{-1/2}-I\|\leq (1-\|Z\|)^{-1/2}-1=O(\delta)$ , отсюда получаем $\|X-I\|=O(\delta)$ .

Чтобы применить лемму, необходимо оценить величину $\|\Pi_\calL-\Pi_\calM\|$ . Имеем $\|(\tilde U-U\otimes I)\Pi_\calM\|\le\delta$ ( $\tilde U$ приближает в расширенном смысле с точностью $\delta$ ). Обозначая $V=U\otimes I$ , получаем

$\|\Pi_\calL-\Pi_\calM\|= \|\tilde U\Pi_\calM\tilde U^\dagger-V\Pi_\calM V^\dagger\|\le 2\delta.$

Итак, условие леммы выполнено (и задача решена) при $\delta<1/4$ .

7.5 Схему для оператора $\Lambda(U)$ можно построить, используя элемент Фредкина $F=\Lambda(\leftrightarrow)$ — управляемый обмен битами. Элемент Фредкина задается соотношениями

$F\colon |a,b,c\rangle\,\mapsto \left\{ \begin{array}{ll} |0,b,c\rangle \quad & \mbox{если}\ a=0, \\ |1,c,b\rangle \quad & \mbox{если}\ a=1. \end{array} \right.$

Его можно реализовать следующим образом:

$F[1,2,3]=\Lambda(\qxor)[1,2,3]\ \Lambda(\qxor)[1,3,2]\ \Lambda(\qxor)[1,2,3]$

(заметим, что $\Lambda(\qxor)=\Lambda^2(\sigma_x)$ — это элемент Тоффоли).

Рис. 15.7.

На рис. 15.7 показано, как из схемы для оператора , сохраняющего $\ket0$ , построить схему для $\Lambda(U)$ . В прямоугольниках происходит управляемый обмен q-битами (параллельно действует нужное количество элементов Фредкина). Если управляющий q-бит равен $\ket1$ , то на вход схемы, вычисляющей , будет подан $\ket\xi$ , в противном случае — $\ket0$ .

7.6 Каждый из рассматриваемых поворотов порождает всюду плотное подмножество в подгруппе поворотов относительно фиксированной прямой. Поэтому осталось доказать, что повороты относительно двух различных прямых порождают $\SO(3)$ . Для этого достаточно доказать, что подгруппа, порожденная всеми поворотами относительно двух различных прямых, действует транзитивно на сфере (или на проективной плоскости — множестве одномерных подпространств). Справедливость этого факта очевидна из рис. 15.8 (если можно перемещаться по двум семействам параллелей, то из любой точки на сфере можно попасть в любую другую). Строгое доказательство получается аналогично решению задачи 7.7.

Рис. 15.8.

Замечание. Это решение неконструктивно: нельзя дать никакой верхней оценки на количество поворотов $X,X^{-1},Y,Y^{-1}$ , композиция которых приближает заданный элемент $U\in\SO(3)$ с заданной точностью $\delta$ . Причина неконструктивности состоит в следующем. Поворот на угол $2\pi\alpha$ , где $\alpha$ — иррациональное, порождает всюду плотное подмножество в группе поворотов относительно фиксированной прямой (эта группа, очевидно, изоморфна $\RR/\ZZ$ ). Однако число $\alpha$ может очень хорошо приближаться рациональными числами (это имеет место, когда коэффициенты цепной дроби, представляющей $\alpha$ , очень быстро растут). Тогда любое $r\in\RR/\ZZ$ приближается элементами вида $n\alpha$ ( $n\in\ZZ$ ) с любой точностью $\delta>0$ , но число может быть сколь угодно велико: больше, чем любая наперед заданная функция $\delta$ .

Конструктивное доказательство и эффективный (при фиксированных и ) алгоритм построения аппроксимаций довольно сложны [4].

7.7 Обозначим $\ket{\xi'}=V^{-1}\ket\xi$ , тогда $H'=V^{-1}HV$ — стабилизатор $\CC(\ket{\xi'})$ . Так что утверждение задачи приобретает вид: объединение стабилизаторов двух несовпадающих одномерных подпространств порождает $U(\calM)$ .

Достаточно показать, что группа , порожденная $H\cup H'$ , действует транзитивно на множестве единичных векторов. Действительно, пусть для каждого $\ket\psi\in\calM$ найдется оператор $U_\psi\in G$ , такой что $U_{\psi}\ket\xi=\ket\psi$ . Тогда

$U(\calM)=\bigcup\limits_{\ket\psi\in\calM} U_{\psi} H.$

Доказываем транзитивность действия группы . Заметим, что

$\begin{equation*} H\ket\psi&=Q(\vartheta)\bydef\{\ket\eta : |\langle \eta\,|\, \xi \rangle| = \cos\vartheta \}, \\ H'\ket\psi&=Q'(\vartheta')\bydef\{\ket\eta : |\langle \eta\,|\, \xi' \rangle| = \cos\vartheta'\}, \end{equation*}$

Можно проверить, что при $\dim\calM\geq3$

$\begin{equation*} HQ'(\vartheta')&=\bigcup_{|\alpha-\vartheta'|\leq \vartheta\leq\min(\alpha+\vartheta',\pi/2)} Q(\vartheta),\\ H'Q(\vartheta)&=\bigcup_{|\alpha-\vartheta|\leq \vartheta'\leq\min(\alpha+\vartheta,\pi/2)} Q'(\vartheta'). \end{equation*}$

Поэтому

$\begin{equation*} H'\ket\xi &= Q'(\alpha),\\ HH'\ket\xi &= \bigcup_{0\leq\vartheta\leq\min(2\alpha,\pi/2)} Q(\vartheta),\\ H'HH'\ket\xi &= \bigcup_{0\leq\vartheta'\leq\min(3\alpha,\pi/2)} Q'(\vartheta'), \end{equation*}$

и т.д. Таким образом, действуя на вектор $\ket\xi$ попеременно элементами из

и

достаточное количество раз, можно получить любой единичный вектор $\ket\psi$ .

7.8 Поскольку $\sx=HK^2H$ , то стандартный базис содержит полный базис для классических обратимых вычислений (см. задачу 6.1). Это, благодаря задаче 7.5, позволяет реализовать операторы $\Lambda(U)$ для всех элементов базиса, кроме .

Теперь рассмотрим оператор $X=\Lambda(HKH)=H\Lambda(K)H$ , который, в силу сказанного, реализуется в стандартном базисе (оператор сохраняет $\ket0$ ). Подействуем им на $\BB^{\otimes2}$ двумя возможными способами: X_1=X[1,2] , X_2=X[2,1] . Операторы $Y_1=X_1X_2^{-1}$ , $Y_2=X_2^{-1}X_1$ также реализуются в стандартном базисе.

Заметим, что операторы X_1 , X_2 (следовательно, и Y_1 , Y_2 ) сохраняют векторы $\ket{00}$ и $\ket{\eta} =\ket{01}+\ket{10}+\ket{11}$ . Кроме того, вычислениями проверяется, что Y_1 , Y_2 не коммутируют и имеют, помимо 1, собственные числа $\lambda_{1,2}=(1\pm\sqrt{-15})/4=e^{\pm i\ph/2}$ . В $\SO(3)\cong U(2)/U(1)$ оператору с такими собственными числами соответствует поворот на угол $\ph$ . Поскольку $\lambda_{1,2}$ не являются корнями из (и даже целыми алгебраическими числами, так как их след равен 1/2 ), угол $\ph$ несоизмерим с $\pi$ . А поскольку эти операторы не коммутируют, им соответствуют повороты вокруг различных прямых. Поэтому Y_1 , Y_2 порождают всюду плотное подмножество в $U(\calL)/U(1)$ , где $\calL=\CC(\ket{00},\ket{\eta})^\perp$ (см. задачу 7.6).

Для завершения доказательства дважды применим результат задачи 7.7. Операторы Y_1 , Y_2 порождают всюду плотное множество в $U(\calL)/U(1)$ , оператор $V=\Lambda(K)$ сохраняет $\CC(\ket{00})$ и не сохраняет $\CC(\ket{\eta})$ . Так что Y_1 , Y_2 , $V^{-1}Y_1V$ , $V^{-1}Y_2V$ порождают всюду плотное множество в $U\bigl(\calL\oplus\CC(\ket\eta)\bigr)/U(1)$ . Оператор H[1] не сохраняет $\CC(\ket{00})$ ; применяя результат задачи 7.7 еще раз, получаем всюду плотное множество в $U(\BB^{\otimes2})/U(1)$ .

7.9 Из предыдущей задачи следует, что можно реализовать оператор $\Lambda(c)$ с точностью до фазового множителя, $\Lambda(c)=e^{i\ph}U$ . Оператор $\sx$ реализуется точно. Возьмем дополнительный q-бит в состоянии $\ket0$ и применим $\sx U\sx U^{-1}\colon \ket0\mapsto c\ket0$ . Неизвестный фазовый множитель сокращается.

7.10 В базисе $\ket\xi=\frac{1}{\sqrt2}(\ket0+\ket1)$ , $\ket\eta=\frac{1}{\sqrt2}(\ket0-\ket1)$ оператор $\sx$ диагонализуется, так что в этом базисе имеет вид

$R=-i\exp(\pi i\alpha\sx)= -i \begin{pmatrix} e^{\pi i\alpha}&0\\ 0&e^{-\pi i\alpha} \end{pmatrix}\,.$

А раз $\alpha$ — иррациональное число, степенями

можно приближенно реализовать любой оператор вида $i^s\exp(i\phi\sx)$ , который в указанном выше базисе имеет матрицу $i^s\begin{pmatrix} z&0\\ 0&z^{-1} \end{pmatrix}$ , где s=0,1,2,3

,

. В геометрической интерпретации эти операторы соответствуют поворотам вокруг оси

. При

и

получаем элемент Тоффоли: $\bigl(\Lambda^2(R)\bigr)^k\approx\Lambda^2(\sigma^x)$ (при подходящем

), так что уже имеем полный классический базис. При s=1

и

получаем $\Lambda^2(i)=\Lambda(K)$ (на третий q-бит этот оператор действует тождественным образом). Из $\Lambda(K)$ можно сделать

, подавая на управляющий q-бит константу $\ket{1}=\sigma^x\ket{0}$ . С точностью до фазового множителя

— это поворот на $90^\circ$ вокруг оси

, а композициями поворотов вокруг

и одного поворота вокруг

представляются все элементы $\SO(3)$ (аналогично задаче 7.7).

Итак, мы получили реализацию всех операторов из U(2) с точностью до фазового множителя. Осталось использовать задачу 7.9 для того, чтобы реализовать .

7.11 Любое вращение трехмерного пространства представляется как композиция трех поворотов: на угол $\alpha$ вокруг оси , затем на угол $\beta$ вокруг оси , затем на угол $\gamma$ вокруг оси . Поэтому любой оператор, действующий на одном q-бите, представляется в виде

$U=e^{i\phi}e^{i(\gamma/2)\sz}e^{i(\beta/2)\sx}e^{i(\alpha/2)\sz}.$

( *)

Каждый из операторов в правой части (*) выражается через и управляемые фазовые сдвиги:

$\begin{align*} e^{i\phi}&=\Lambda(e^{i\phi})\sx\Lambda(e^{i\phi})\sx, & e^{i\phi\sz}&=\Lambda(e^{-i\phi})\sx\Lambda(e^{i\phi})\sx,\\ \sx&=H\Lambda(e^{i\pi})H, & e^{i\phi\sx}&=He^{i\phi\sz}H. \end{align*}$

Таким образом, для решения задачи достаточно построить схему, представляющую управляемый фазовый сдвиг $\Lambda(e^{i\theta})$ с точностью $O(\delta)$ .

Выберем такое q=2^n , что $\slashfrac{1}{\delta}\leq q<\slashfrac{2}{\delta}$ . Предположим, что у нас в распоряжении есть -битовый регистр в состоянии

$\ket{\psi_n(q,k)}=\frac{1}{\sqrt{q}}\sum_{j=0}^{q-1} \exp\bigl(2\pi i\frac{kj}{q}\bigr)\ket{j}.$

Заметим, что $\ket{\psi_n(q,k)}$ — собственный вектор классического оператора $V\colon\ket{j}\mapsto\ket{(j-1)\bmod q}$ :

$V^l\ket{\psi_n(q,k)} = e^{2\pi i (kl/q)}\ket{\psi_n(q,k)}.$

Применяя к $\ket{\psi_n(q,k)}$ оператор V^l

, управляемый дополнительным q-битом, получаем искомый фазовый сдвиг на этом q-бите:

$\Lambda(V^l)\bigl(\ket\xi\otimes\ket{\psi_n(q,k)}\bigr) = \Lambda(e^{2\pi i (kl/q)})\ket\xi\otimes\ket{\psi_n(q,k)}.$

(Классический) оператор $\Lambda(V^l)$ можно задать схемой линейного размера в стандартном базисе. Если — нечетно, то выбором подходящего можно представить оператор $\Lambda(e^{i\theta})$ с точностью $\slashfrac{2\pi}{q}=O(\delta)$ .

Вместо того, чтобы строить схему, порождающую $\ket{\psi_n(q,k)}$ , будем брать смесь $\ket{\psi_n(q,k)}$ при разных , измерять значение и выбирать , соответствующее этому измеренному значению. Опишем требуемые действия.

Создаем вектор
$\sz[1] H[1]\ket{0^n}=\ket\eta= \frac{1}{\sqrt2}\ket{0}-\frac{1}{\sqrt2}\ket{q/2}= \frac{1}{\sqrt{q/2}}\sum_{s=0}^{q/2-1}\ket{\psi_n(q,2s+1)}.$
Заметим, что $\sz=\Lambda(i)^2=K^2$ реализуется точно в стандартном базисе.
Произведем измерение с вероятностью ошибки $\eps\leq\delta^2$ ; оно может быть представлено оператором
$W=\sum_{k=0}^{q-1} \ket{\psi_n(q,k)} \bra{\psi_n(q,k)}\otimes W_k,$
где $W_k\ket0=\sqrt{1-\eps}\ket{k}\otimes\ket{\mbox{мусор}(k)}+ \sqrt{\eps}\ket{\zeta(k)}$ , а векторы $\ket{\mbox{мусор}(k)}$ и $\ket{\zeta(k)}$ — единичной длины. Заметим, что точность — квадратный корень из вероятности ошибки:
$\big\|W_k\ket0-\ket{k}\otimes\ket{\mbox{мусор}(k)}\big\|= \sqrt{\left(1-\sqrt{1-\eps}\right)^2+\sqrt{\eps}^2}=O(\delta).$
Найдем такое , что $|kl(k)/q-\theta/(2\pi)|\leq 1/q$ .
Применим $\Lambda(V^l)$ к рабочему -битовому регистру, используя бит, в котором нужно сделать фазовый сдвиг, в качестве управляющего.
Обратим вычисления, сделанные на шагах 1 — 3.

Чтобы вероятность ошибки была меньше $\delta^2$ , нужны $O(\log(1/\delta))$ элементарных измерений для каждого из операторов , V^2 $,\dots$ , $V^{2^{n-1}}$ . Поскольку $n=O(\log(1/\delta))$ , общий размер схемы — $O(\log^3(1/\delta))$ .