НОУ ИНТУИТ | Классические и квантовые вычисления. Лекция 1: Решения задач

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 15.03.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Из раздела 11

11.1 По определению квантовой вероятности имеем

$\begin{align*} &\PP\Bigl(W\bigl(\ket0\bra0\otimes\rho\bigr)W^\dagger,\, \CC(\ket{k})\otimes\calN\Bigr) =\\ =& \Tr\Bigl(\Pi_{\CC(\ket{k})\otimes\calN}W\bigl(\ket0\bra0\otimes\rho\bigr) W^\dagger\Bigr)=\\ =& \sum_{j} \Tr\Bigl( \bigl(\ket{k}\bra{k}\bigr)R_j\bigl(\ket{0}\bra{0}\bigr)R_j^\dagger \otimes \Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j} \Bigr) =\\ =& \sum_{j} \Tr\Bigl(\bigl(\ket{k}\bra{k}\bigr) R_j\bigl(\ket0\bra0\bigr)R_j^\dagger\Bigr) \Tr\bigl(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}\bigr)=\\ =& \sum_{j}|\bra{k}R_j\ket0|^2 \PP(\rho,\calL_j) \,=\, \sum_{j}\PP(k|j)\PP(\rho,\calL_j). \end{align*}$

11.2 Если $W=\sum_{k=1}^{t}\Pi_{\calL_k}\otimes V_k$ , то $W^{-1}=\sum_{k=1}^{t}\Pi^{\ms}_{\calL_k}\otimes V_k^{-1}$ . Поэтому искомая квантовая схема имеет вид $W^{-1}YW$ , где оператор копирует в дополнительный регистр "полезный результат":

$Y\colon\ket{y,z,v}\mapsto\ket{y,z,v\oplus y}.$

Оценка точности делается так же, как в задаче 7.11.

Из раздела 12

12.1 Интересующую нас вероятность обозначим через p(X,l) . Если $h_1,\dots,h_l$ не порождают всю группу , то они содержатся в некоторой максимальной собственной подгруппе $Y\subset X$ . Для каждого вероятность такого события не превосходит $2^{-l}$ , поскольку $|Y|\le|X|/2$ . Таким образом, мы имеем оценку

$p(X,l)\ge 1-K(X)\cdot 2^{-l},$

где

— число максимальных собственных подгрупп в группе

.

Подгруппы абелевой группы находятся во взаимнооднозначном соответствии с подгруппами группы характеров X^* , при этом максимальным собственным подгруппам отвечают минимальные ненулевые подгруппы. Каждая такая подгруппа порождается одним элементом, поэтому $K(X)\le|X^*|=|X|$ .

12.2 Построим классический оператор $V_b\in\LL(\BB\otimes\BB^{\otimes n})$ (базисные векторы в $\BB^{\otimes n}$ занумерованы от до 2^n-1 ), такой что

$V_b\ket{0,0}=\ket{0,1},\qquad V_b\ket{1,0}=\ket{1,b}.$

Тогда схема $V^{-1}[0,B]\,U[B,A]\,V[0,B]$ реализует оператор $\Lambda(U_b)[0,A]$ в расширенном смысле.

12.3 Обозначим образ вектора $\ket{x}$ при преобразовании Фурье через $\ket{\psi_n(k,x)}$ . В задаче 8.4 мы научились строить вектор $\ket{\psi_n(k,0)}$ . Как уже отмечалось в решении задачи 7.11, $\ket{\psi_n(k,x)}$ — собственный вектор классического оператора $V\colon\ket{j}\mapsto\ket{(j-1)\bmod k}$ , собственное число которого равно $\exp(2\pi i x/k)$ .

Используя эти соображения и результат задачи 11.2, построим следующую схему для квантового преобразования Фурье.

В дополнительном, изначально нулевом, регистре построим вектор $\ket{\psi_n(k,0)}$ . Общее состояние получается
$\frac{1}{\sqrt{k}}\sum_{y}^{}\ket{x,y}.$
Сделаем фазовый сдвиг на $\exp(2\pi i xy/k)$ . Теперь получаем состояние $\ket{x}\otimes \ket{\psi_n(k,x)}$ .
Измеряя обратимым образом (см. задачу 11.2) собственное число оператора , действующего на второй регистр, прибавляем результат измерения к первому регистру. (Здесь имеется в виду побитовое сложение по модулю 2). В первом регистре получается $\ket{0}$ , а во втором — требуемый результат $\ket{\psi_n(k,x)}$ .

Из раздела 14

14.1 Оператор можно представить в виде

$A = \sum_{j} \lambda_j\ket{\xi_j}\bra{\eta_j},\quad\ \lambda_j>0,\quad \langle\xi_j|\xi_k\rangle=\langle\eta_j|\eta_k\rangle= \delta_{jk}.$

Здесь $\lambda_j^2$ — ненулевые собственные числа оператора $AA^\dagger$ , $\ket{\xi_j}$ — его собственные векторы, а $\ket{\eta_j}=\lambda_j^{-1}A^\dagger\ket{\xi_j}$ . Тогда $\|A\|_\trr=\sum_j\lambda_j$ .

Для любого оператора

$|\Tr AX| \le \sum_{j}\lambda_j\bigl|\Tr\ket{\xi_j}\bra{\eta_j}X\bigr| \le \sum_j \lambda_j\|X\| = \|A\|_\trr\|X\|.$

С другой стороны, если взять $X=\sum_j\ket{\eta_j}\bra{\xi_j}$ , то $\|X\|\le 1$ , а $\Tr AX\double=\|A\|_\trr$ .

Из доказанного представления для $\|\cdot\|_\trr$ легко следует неравенство треугольника, а положительность и однородность $\|\cdot\|_\trr$ очевидны.

14.2 Свойство а):

$\|AB\|_\trr= \sup\limits_{X\ne0}\frac{|\Tr ABX|}{\|X\|}\leq \sup\limits_{X\ne0}\frac{\|A\|_\trr\|BX\|}{\|X\|}\leq \|A\|_\trr\|B\|.$

Аналогично доказывается и свойство б) (воспользуйтесь равенством $\Tr ABC=\Tr CAB$ ).

Свойство в):

$|\Tr(A)|=\frac{|\Tr(AI)|}{\|I\|}\leq\|A\|_\trr.$

Свойство г): для любого $А\in\LL(\calN\otimes\calM)$

$\|\Tr_{\calM}A\|_\trr= \sup\limits_{X\ne0}\frac{\left|\Tr\bigl((\Tr_{\calM}A)X\bigr)\right|}{\|X\|}= \sup\limits_{X\ne0} \frac{\left|\Tr\bigl(A(X\otimes I_{\calM})\bigr)\right|} {\|X\otimes I_\calM\|}\le \|A\|_\trr.$

Свойство д):

$\|A\otimes B\|_\trr= \Tr\sqrt{(A\otimes B)^\dagger(A\otimes B)}= \Tr\left(\sqrt{A^\dagger A}\otimes\sqrt{B^\dagger B}\right)= \|A\|_\trr\|B\|_\trr.$

14.3 Пусть $\calF$ — пространство состояний q-битов из , а $\calN$ — пространство состояний остальных q-битов. Обозначим

$\calD = I_{\calN}\otimes\calF^*\colon\ \calN\otimes\calF\to\calN.$

Если $X,Y\in\calD$ , то $Y^\dagger X\in I_{\calN}\otimes\LL(\calF)=\calE(A)$ . Следовательно, код $\calM$ исправляет ошибки из $\calD$ .

Преобразование $T\colon\rho\mapsto\Tr_\calF\rho$ может быть разложено в операторную сумму ( ), см. решение задачи 10.1. Операторы W_m из этого разложения принадлежат пространству $\calD$ , поэтому $T\in\calD\cdot\calD^\dagger$ . Осталось воспользоваться теоремой 14.2.

14.4 Пространство , соответствующее искомому коду, порождается строками таблицы

$\begin{array}{cc@{\qquad}cc@{\qquad} cc@{\qquad} cc@{\qquad} cc} 1&0 & 1&0 & 0&1 & 0&1 & 0&0 \\ 1&0 & 0&1 & 1&0 & 0&0 & 0&1 \\ 0&1 & 0&0 & 0&1 & 1&0 & 0&1 \\ 0&1 & 0&1 & 0&0 & 0&1 & 1&0 \end{array}$

Можно проверить, что $\omega(f_j,f_k)=0$ для любых двух строк f_j,f_k

. Заметим, что столбцы в таблице разбиты на пары. Если взять любые две пары, то соответствующие 4 столбца линейно независимы. Следовательно, из строк всегда можно составить линейную комбинацию, которая в двух заданных парах позиций содержит заданные числа. Поэтому условия $\omega(f_j,g)=0$ ( j=1,2,3,4

) при $|g|\leq2$ могут выполняться только для g=0

.

14.5 (См. [22, 23].) Допустим, что $\calM$ — код типа (4,1) , исправляющий одну ошибку. Тогда он должен обнаруживать по крайней мере две ошибки, в частности, ошибки в q-битах [1,2] , а также в q- битах [3,4] . Это означает, что произвольное состояние $\rho\in\LL(\calM)$ можно восстановить как по первым, так и по последним двум -битам (см. задачу 14.3). Покажем, что это невозможно.

Пусть $\calN_1$ — пространство состояний q-битов [1,2] , а $\calN_2$ — пространство состояний q-битов [3,4] , тогда $\calM$ — это подпространство в $\calN_1\otimes\calN_2$ . Вложение $\calM\to\calN_1\otimes\calN_2$ обозначим через (это изометрический оператор). Пусть также $T_1\colon\rho\mapsto\Tr_{\calN_2}\rho$ и $T_2\colon\rho\mapsto\Tr_{\calN_1}\rho$ — преобразования ошибок, а $P_1\colon\calN_1\to\calM$ и $P_2\colon\calN_2\to\calM$ — соответствующие исправляющие преобразования. Тогда преобразование $P=(P_1\otimes P_2)(V\cdot V^\dagger)\colon\calM\to\calM\otimes\calM$ обладает следующим свойством: для любого $\rho\in\calM$

$\begin{align*} \Tr_{\calN_2} P\rho =&\, \Tr_{\calN_2} \bigl((P_1\otimes P_2)(V\rho V^\dagger)\bigr) = P_1 T_1(V\rho V^\dagger) =\,\rho,\\ \Tr_{\calN_1} P\rho =&\, \Tr_{\calN_1} \bigl((P_1\otimes P_2)(V\rho V^\dagger)\bigr) = P_2 T_2(V\rho V^\dagger) =\,\rho .\end{align*}$

Согласно задаче 10.5 первое тождество означает, что $P\rho=\rho\otimes\gamma_2$ , где $\gamma_2$ не зависит от $\rho$ . Из второго тождества следует, что $P\rho=\gamma_1\otimes\rho$ . Получили противоречие: $\gamma_1\otimes\rho=\rho\otimes\gamma_2$ , где $\rho$ —любое.

14.6 Опишем кратко идею решения этой задачи.

Достаточно рассмотреть одно из двух прямых слагаемых торического кода. Компонента синдрома равна 1 для такого узла решетки, в звезду которого входит нечетное число ребер с ненулевыми весами в 1-цепи, соответствующей вектору ошибки $g^{(z)}$ .

Поэтому получаем такую задачу. Задано некоторое множество узлов решетки. Из всех 1-цепей , граница которых совпадает с , нужно выбрать ту, в которой наименьшее число ребер ненулевого веса. Нетрудно сообразить, что такая 1-цепь распадается в объединение путей, соединяющих узлы из множества (любые два различных пути не имеют общих ребер), причем эти пути можно считать кратчайшими. Так что задача определения ошибки по синдрому сводится к задаче о взвешенном паросочетании: дан граф (в нашем случае полный), каждому его ребру приписан вес (в нашем случае — расстояние между узлами по решетке), нужно найти паросочетание, на котором достигается минимум суммы весов по ребрам, входящим в паросочетание.

Для задачи о взвешенном паросочетании известны полиномиальные алгоритмы (см., например, [11, гл.11], где описан алгоритм, основанный на идеях линейного программирования).

Дальше >>

Классические и квантовые вычисления

Классические и квантовые вычисления