Инспектор
Вы можете этот курс.
Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский физико-технический институт
Лекция 11: Численное решение краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
10.4. Пятиточечная прогонка
При численном решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений 4 - го порядка возникают СЛАУ с пятидиагональной матрицей вида:
c0u0 - d0u1 + e0u2 = f0, - b1 u0 + c1 u1 - d1 u2 + e1 u3 = f1, anun - 2 - bnun - 1 + cnun - dnun + 1 + enun + 2 = fn, n = 2, ... , N - 2, aN - 1 uN - 3 - bN - 1 uN - 2 + cN - 1 uN - 1 - dN - 1 un = fN - 1, an uN - 2 - bn uN - 1 + cn un = fn .
Алгоритм решения таких систем — пятиточечная прогонка, формулы которой выводятся аналогично формулам для трехточечной прогонки. Приведем их окончательный вид. В прогоночном соотношении появятся три коэффициента (p, q, r):
un = pn + 1 un + 1 - qn + 1un + 2 + rn + 1, uN - 1 = pn un + rn, un = rN + 1.
Прогоночные коэффициенты находятся по формулам
![p_{n + 1} = [d_{n} + q_{n}(a_{n} p_{n - 1} - b_{n})]/D_{n} , n = 2, 3, \dots , N - 1, \setminus \setminus
\\
p_{1} = d_{0} /c_{0}, p_{2} = (d_{1} - q_{1} b_{1} )/D_{1},
\\
r_{n + 1} = [f_{n} - a_{n} r_{n - 1} - r_{n} (a_{n} p_{n - 1} - b_{n})]/D_{n}, n = 2, 3, \dots , N,
\\
r_{1} = f_{0} /c_{0}, r_{2} = (f_{1} + b_{1} r_{1} )/D_{1},
\\
q_{n + 1} = e_{n} /D_{n} , n = 1, 2, 3, \dots , N - 2, q_{1} = e_{0} /c_{0},
\\
D_{n} = c_{n} - a_{n} q_{n - 1} + p_{n} (a_{n} p_{n - 1} - b_{n}), n = 2, 3, \dots , N,
\\
\Delta _{1} = c_{1} - b_{1} p_{1} .](/sites/default/files/tex_cache/09b71c6940b4b53359d2f7c6a4c0929e.png)
Достаточными условиями устойчивости пятиточечной прогонки являются диагональное преобразование и неравенства
10.5. Матричная прогонка
Представим прогоночные соотношения для системы уравнений второго порядка
- B0u0 - C0u1 = D0,
Anun - 1 - Bnun + Cnun + 1 = Dn, n = 1, 2, 3, ..., N - 1,
An{u} - Bnun = Dn,где un и Dn — векторы, Cn, An, Bn — матрицы.
Обратный ход прогонки выполняется в соответствии с формулами
un = Pn + 1un + 1 + qn + 1, un = qN+ 1.
Здесь Pn + 1 — матрица, qn + 1 — вектор.
Окончательный вид формул для прямого хода матричной прогонки будет
Этот алгоритм называется методом матричной прогонки. Можно показать, что алгоритм матричной прогонки устойчив, если || Pn || < 1 для 
; матрицы B_0 и (Bn - AnPn) невырождены.
10.6. Численное решение нелинейных краевых задач
10.6.1. Метод стрельбы
Рассмотрим систему нелинейных ОДУ:
![\left\{\begin{array}{l}
\frac{d{u}}{dt} = f(u);\quad t \in [0, L], \\
F\left[{u(0), {u}(L)}\right] = 0, \quad {u}, f, F \in R^n. \\
\end{array}\right. $](/sites/default/files/tex_cache/27c690e0dff03eb00fe524fb8065439f.png)
Введем пока неизвестный вектор 
размерности n такой, что
и решим соответствующую задачу Коши, например, методом Рунге - Кутты;
получим решение 
Используя краевые условия, получаем нелинейную систему алгебраических уравнений
которая решается численно методом Ньютона или простых итераций. Отметим, что левая часть данной системы при использовании метода стрельбы задается не в виде функции, а алгоритмически — процедурой вычисления значений функции на правом краю отрезка интегрирования как решения соответствующей нелинейной задачи Коши!
