SPMD-технология на базе симметричной ВС

Распараллеливание по двумерному опорному массиву

Построим программу умножения матриц C=A x B размерности k, где каждый элемент матрицы-результата C находится:

Представим множество элементов C одномерным массивом, обусловленным расположением подряд строк этой матрицы:

Пусть каждый процессор П _i, i = 0,...,N-1, считает элементы c_{i+jN}^* этого массива, j = 0,1,....

Для построения подпрограммы нахождения скалярного произведения строки A и столбца , , сформируем дескрипторы с дескрипторными элементами, необходимыми для организации счета только одним процессором:

D₁ = {D₁₀, D₁₁, D₁₂, D₁₃, D₁₄} = {a₀, 1, k, a₀+k-1, a₀},

.

Указаны начальные значения D_{14} и D_{24}, а неиспользуемые значения D_{22} и D_{23} полагаются заведомо большими.

Так как мы условились распределять считаемые элементы массива C между процессорами, то сформируем на каждом процессоре дескриптор подмассива C_i закрепленных за ним элементов:

(указано начальное значение D_C4, значение D_C2 не используется).

Подпрограмма нахождения скалярного произведения приведена в табл. 12.3. Все используемые команды ранее встречались.

Таблица 12.3.

№k	КОП	I1	A1	I2	A2	I3	A3
0	ЗАГ			D14	D10	D24	D20
1	ЦИКЛ	D12
2	x	D1		D2
3	+
4	КЦ
5	ЗАП					D3
6	В

Использование в командах 2 и 5 адресов дескрипторов, которые, в отличие от адресов модификаторов и дескрипторных элементов, обладают специальным признаком, приводит к автоматической переадресации, производимой при выполнении этих же команд в цикле. Так, при выполнении команды 2, если (D₁₄) не превосходит (D₁₃), а (D₂₄) не превосходит (D₂₃), формируются исполнительные адреса A^*₁ = A₁+(D₁₄), A^*₂ = A₂+(D₂₄), после чего выполняются операции (D₁₄) := (D₁₄)+(D₁₁) ; (D₂₄) := (D₂₄)+(D₂₁). Это обусловило необходимость восстановления значений D₁₄ и D₂₄ по команде 0. Аналогично, при выполнении команды 5 готовится запись при следующем обращении к подпрограмме, (D₃₄) := (D₃₄)+N.

Пусть матрице A соответствует дескриптор массива первых элементов ее строк, то есть дескриптор первого столбца

D_A = {D_A0, D_A1, D_A2, D_A3, D_A4} = {a₀₀, k, k, a₀₀+(k-1)k, a₀₀}

(указано начальное значение D_{A4} ). Матрица B представлена дескриптором массива первых элементов ее столбцов, то есть дескриптором первой строки

D_B = {D_B0,...,D_B7} = {b₀₀, 1, k, b₀₀+k-1, b₀₀, b₀₀+i, N, b₀₀+i}

(указаны начальные значения D_B4 и D_B7 ). Программа умножения матриц (пропущены команды формирования и восстановления дескрипторов) представлена в табл. 12.4.

По команде 10, выполняющейся первый раз при (D_B7) = b₀₀+i, адрес, записанный в D_B7, сравнивается с адресом последнего элемента массива, записанным в D_B3. Если адрес указывает на принадлежность элемента массиву, выполняется следующая команда. В противном случае управление передается на выполнение команды 17.

По команде 11 производится аналогичная проверка принадлежности элемента используемой строки матрицы A, адрес которого указан в D_A4, массиву первых элементов ее строк. Если (D_A4) > (D_A3), управление передается на выполнение команды 20 — выход из подпрограммы.

По командам 12—13 формируются дескрипторные элементы дескрипторов D₁ и D₂ для скалярного умножения очередной строки матрицы A на очередной столбец матрицы B — для получения очередного элемента матрицы C.

По команде 14 производится обращение с возвратом в рамках одной задачи (без использования ОС) к процедуре счета скалярного произведения (см. табл. 12.3).

По команде 15 производится изменение адреса начального элемента столбца — переход к следующему столбцу с учетом предполагаемого закрепления элементов матрицы C за процессорами, а именно, производится операция (D_B7) := (D_B7)+(D_B6), где (D_B6) = N. Если после изменения адреса новое его значение превышает максимальное, записанное в D_B3, осуществляется переход на выполнение команды 17. В~противном случае по команде 16 управление передается на выполнение команды 12 — на подготовку счета и счет очередного элемента C.

Команды 17 и 18 выполняются в случае, если измененный на значение N адрес (D_B7) первого элемента столбца B превышает значение (D_B3) = b₀₀+k-1. Чтобы получить "координаты" того элемента C, к счету которого необходимо перейти, т.е. чтобы получить адреса первого элемента столбца и первого элемента строки, на пересечении которых он находится, необходимо выполнить следующие действия: последовательно вычитать шаг (D_B2), т.е. значение k, из вновь полученного адреса столбца B и прибавлять шаг ( D_A1 ), т.е. это же значение k, к ранее использованному адресу первого элемента строки A (первоначально — к значению a₀₀ ) до тех пор, пока значение ( D_B7 ) не станет меньше или равно значению ( D_B3 ). По данным командам изменяются значения ( D_B7 ) и ( D_A4 ). Затем по команде 19 управление передается на выполнение команды 10, по которой в случае недостаточности коррекции дескрипторного элемента D_B7 управление вновь передается на выполнение команды 17. Если коррекция элемента D_B7 произведена успешно, по команде 11 может быть выяснено, что скорректированное значение ( D_A4 ) превосходит значение ( D_A3 ). Это означает, что следующий элемент матрицы C, к счету которого пытается приступить процессор, принадлежит несуществующей строке, то есть процессор закончил выполнение своей доли работы. По команде 20 производится выход из подпрограммы.