Программирование задач для асинхронной ВС архитектуры "data flow"

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Суть метода заключается в сведении системы линейных уравнений с помощью линейных преобразований к ступенчатому виду. Тогда из последнего уравнения находится значение одного неизвестного. Поднимаясь на одно уравнение вверх, с его помощью находим значение другого неизвестного и т.д. Т.е. предполагается некоторый "проход" по уравнениям системы сверху вниз, а затем обратный проход снизу вверх.

Программу составим для произвольного значения n — числа уравнений (неизвестных). Однако для наглядности зафиксируем n=4.

Итак, система уравнений имеет вид

Умножим второе уравнение на r₁ = a₀₀ / a₁₀ и вычтем из него первое уравнение. Получим новое уравнение, в котором коэффициенты находятся из выражения

Аналогично, умножая все последующие (k = 2, ...) уравнения на соответствующие величины a₀₀ / a_k0 и вычитая первое уравнение, избавимся от вхождения в них переменной x₀.

Произведен первый шаг в получении ступенчатой системы уравнений (рис. 11.5). При этом мы, конечно, считаем, что . Если это не так, но выполняется известное условие существования единственного решения системы, то надо так переупорядочить (переобозначить) вхождение переменных, чтобы нужный коэффициент был отличен от нуля. Такое переупорядочение переменных в приведенной ниже программе предусмотрено.

Рис. 11.5. Схема счёта методом Гаусса

На втором шаге вычитаем преобразованное второе уравнение из всех последующих уравнений, предварительно умноженных на r₂ = a₁₁⁽¹⁾ / a_k1⁽¹⁾. Таким образом мы избавляемся от вхождения в них второй переменной и т.д.

На последнем шаге таких преобразований получаем выражение для нахождения последней переменной. В нашем примере это

a₃₃⁽³⁾ x₃ = a₃₄⁽³⁾.

Найденное значение x₃ подставим в уравнение

a₂₂⁽²⁾ x₂ + a₂₃⁽²⁾ x₃ = a₂₄⁽²⁾.

и найдем значение x₂ и т.д.

Программа коммутации представлена на рис. 11.6a и 11.6b.

Рис. 11.6a. Программа решения системы линейных уравнений

Рис. 11.6b. Окончание

По команде 0 загружаются число переменных в уравнении и адреса коэффициентов. Команды производят начальное формирование индексных регистров.

Команда 6 начинает основной цикл на n-1 повторений.

По команде 7 загружаются модификаторы, причем после первого выполнения будут справедливы равенства:

(M₄) = a₀₀; (M₅) = a₁₁; (M₆) = a₀₁.

Команда 8 проверяет равенство a₀₀ = 0 и при несравнении задает переход на выполнение команды 22.

По команде 9 также загружаются модификаторы, и после первого выполнения (при a₁₀ = 0 ) будут справедливы равенства: (M₇) = a₀₀; (M₈) = a₀₀; (M₉) = < l₀ >.

По команде 10 начинается вложенный цикл на n - 1, ..., 1 повторений поиска уравнения, у которого старший коэффициент не равен нулю.

По команде 11 производится переход по условию; в первый раз при a₁₀ = 0 — переход к выполнению команды 19.

Команда 12 начинает очередной вложенный цикл. В первый раз выполняются действия:

a₀₀ => l₀, a₀₁ => l₁ и т.д. (команда 13),

a₁₀ => a₀₀, a₁₁ => a₀₁ и т.д. (команда 14),

l₀ => a₁₀, l₁ => a₁₁ и т.д. (команда 15) — таким образом, уравнения меняются местами. Выполнение цикла заканчивается по команде 17.

После нахождения старшего ненулевого коэффициента и перестановки уравнений поиск заканчивается, поэтому команда 18 задает принудительный выход из предыдущего цикла.

Команда 19 позволяет произвести переход к анализу следующего уравнения.

Останов по команде 21 означает, что все старшие коэффициенты нулевые и поэтому нельзя построить треугольную матрицу с определителем, не равным нулю.

Команда 22 начинает цикл на n - 1, ..., 1 повторений преобразования уравнений. Команда 24, переход по сравнению, позволяет пропустить уравнение, у которого старший коэффициент равен нулю. Команда 25 коммутирует деление, последовательно задавая вычисление

Команда 26 — начало вложенного цикла на n, n - 1, ..., 2 повторений преобразования коэффициентов одного уравнения. В первый раз по командам 27 и 28 будут закоммутированы вычисление и отсылка:

По команде 31 увеличиваются на единицу значения индексных регистров, что позволяет при следующей итерации цикла перейти к анализу следующего уравнения.

Команда 33 в первый раз определяет переход от a₀₀ к a₁₁⁽¹⁾ ; по команде 34 происходит уменьшение граничных значений параметров циклов. Команда 35 — конец самого внешнего цикла, т.е. конец "прямого хода".

По командам 36 и 37 изменяется содержимое индексных регистров:

(M₂) = <x₀>,\, (l₁) = (R₂) = n - 1, (M₂) = <x_n-1>,

а команда 38 коммутирует выполнение операции деления

Команда 39 начинает цикл на n - 1 повторение, а команда 41 — вложенный цикл на n - 1, n - 2, ..., 1 повторение.

По командам 43 последовательно в каждой итерации цикла коммутируется выполнение умножения:

a_{n-2, n-1} x x_n-1, a_{n-3, n-1} x x_n-1 и т.д.,

а по команде 44 — вычитания: a_n-2,n-1 := a_{n-2, n} - a_{n-2, n-1} x x_n-1, a_{n-3, n-1} := a_{n-3, n} - a_{n-3, n-1} x x_n-1 и т.д.

После этого вложенный цикл заканчивается (команда 45), и изменяются значения индексных регистров (команды 46 и 47), что дает возможность перейти к коммутации нахождения x_n-2, x_n-3 и т.д. (команда 48).

В первый раз