Математические методы в моделировании экономики

Интегрирование

Аналитический способ нахождения интеграла - нахождение первообразной для подынтегральной функции, процедура, обратная дифференцированию. В Mathcad интегрирование производится символьным вычислением. Для проведения операции надо под знак ,(панель Calculus), ввести функцию, пределы интегрирования, переменную, щелкнуть оператор символьного вывода (панель Symbolic или Evaluation). Можно решать: неопределённые и определенные, двойные и тройные интегралы.

В процессе решения экономических задач приходится производить вычисление накопительного итога: определение суммарного расходования материалов, энергии, прибыли, затрат и т.д. В статистических задачах операция интегрирования требуется при построении интегральных функций распределения по плотности распределения вероятности, при расчете математического ожидания, дисперсии.

Пример 1.2.

Случайная величина задана плотностью распределения . Определить математическое ожидание и вероятность для случайной величины принять значение от 0,5 до 1.

Математическое ожидание выражается соотношением:

( 1.2)

вероятность для случайной величины принять значение от до имеет вид

( 1.3)

Расчет математического ожидания и вероятности приведен ниже:

- плотность распределения

- математическое ожидание

- вероятность принять значение от до

- вероятность принять значение от 0.5 до 1

Пример 1.3.

Производительность труда от времени характеризуется функцией

( 1.4)

Определить объем продукции , произведенной рабочим за первый час и за третий час рабочего дня.

Для функция непрерывна. Тогда объем продукции , произведенной рабочим за промежуток времени от до будет иметь вид

( 1.5)

На рисунке 1.2 представлено решение в Mathcad.

Рис. 1.2. Листинг решения Примера 1.3. Расчет произведенной продукции

( 1.5)

- объем произведенной продукции за первый рабочий час

- объем произведенной продукции за третий рабочий час

Решение уравнений

Техника символьных вычислений позволяет решать уравнения аналитически (в символьном виде). Применяя ключевое слово Solve панели Simbolyc, можно решать уравнения и системы линейных и нелинейных уравнений. Для этого надо ввести уравнения, с использованием логического равенства с панели Boolean, ключевое слово Solve, переменные, относительно которых решается уравнение.

Решение уравнений – ключевой момент математического моделирования. Особенно ценна возможность аналитического решения, это позволяет выразить одни показатели через другие. Рассмотрим примеры.

Пример 1.4.

Обратимся к финансовым вычислениям, которые подробно будут рассмотрены во 2 лекции. По схеме сложных процентов для элементарного денежного потока выражение для будущей стоимости от ставки , текущей стоимости , количества лет и количества начислений процентов в течение года имеет вид:

( 1.6)

Для вывода выражений для финансовых параметров , , надо это уравнение решить относительно соответствующего параметра . Решение показано ниже:

Пример 1.5.

Рассмотрим экономическую задачу изучения спроса и предложения товара на рынке. Спрос на товар (demand) – сложившаяся на данный момент времени зависимость между ценой спроса товара (price) и количеством товара (объемом его покупки). Пусть – функция спроса, -цена товара, по которой покупается количество товара . Чем меньше цена, тем больше спрос при постоянной покупательной способности, функция . – функция убывающая. Предложение (supply) определяется ценой, по которой количество товара предлагается на рынке. - функция предложения, - цена товара, по которой предлагается на продажу количество товара , предложение растет с увеличением цены на товар, – функция возрастающая. Для экономики представляет интерес условие равновесия, когда спрос равен предложению; это условие дается уравнением .

Пусть функции имеют вид:

На рисунке 1.3 представлено решение.

Рис. 1.3. Листинг вычислений Примера 1.5. Определение равновесной цены.

– цена, по которой приобретается количество товара

– цена, по которой предлагается количество товара

- количество товара, приобретенного по цене

, – равновесная цена

Следует заметить, Mathcad 14 дат решение уравнения для всей области значений (действительные и комплексные), ключевое слово assume (ограничение для переменной) не работает.

Если имеем систему уравнений, уравнения следует вводить как элементы матрицы.