Не могу найти требования по оформлению выпускной контрольной работы по курсу профессиональной переподготовки "Менеджмент предприятия" |
Экономико-математические модели и принятие решений
Примеры типовых макроэкономических моделей
Модель межотраслевого баланса (модель В. Леонтьева). Каждая из n отраслей производит свой (обобщенный) продукт. Выпуск распределяется в заданной пропорции между конечным потреблением, другими отраслями и внутренними потребностями отрасли. Кроме того, описывается прирост производственных мощностей. Модель описывается уравнениями:
где - поток выпуска продукта в момент времени (единица измерения = единица продукта / единица времени);
- мощность - го производства или максимальный выпуск;
- поток конечного (непроизводственного) потребления;
- коэффициенты прямых сырьевых затрат (количество продукта , необходимое для производства продукта );
- количество фондообразующего продукта идущее на единичный прирост мощности в отрасли ;
- продолжительность строительства мощности в отрасли
Таким образом, выпуск расходуется на покрытие сырьевых и фондообразующих затрат и конечное потребление.
Эконометрические модели народного хозяйства (типа Брукингской и Уортоновской). В основе этих моделей лежат: 1) балансовые соотношения; 2) функциональные зависимости - производственная функция и функция потребительского спроса.
Производственная функция задает зависимость национального дохода от стоимости основных фондов (капитала) и от используемых трудовых ресурсов :
Функция спроса задает зависимость вектора конечного потребления, т.е. набора потребляемых товаров, от вектора с цен на эти товары и дохода .
Паутинообразные модели имеют дело с динамикой спроса и предложения. Пусть - спрос, - предложение, - цена, - равновесная цена, - объем производства, - равновесный объем производства. Равновесные и находят из условия совпадения спроса и предложения .
Однако более реалистичной является гипотеза запаздывания предложения. Например, пусть при цене в прошлый период объем предложения в данный период есть . Считаем, что цена устанавливается на рынке так, чтобы был куплен весь объем выпущенной продукции Следовательно,
Пусть спрос и предложение достаточно точно описываются линейными функциями от цены
Такое предположение вполне естественно, если в модели рассматривается окрестность точки равновесия, а функции спроса и предложения гладкие. Тогда
( 1) |
Равновесие наступает, когда
( 2) |
Вычитая (1) из (2), получаем, что
( 3) |
Обозначим - отклонения от равновесия. Из (3) получим , откуда Решение этого уравнения имеет вид
В зависимости от того, чему равно , получим либо затухающие колебания сходящиеся к и , либо колебания c возрастающей амплитудой . В промежуточном случае амплитуда колебаний постоянна.
Тот же результат справедлив и в модели с непрерывным временем. Будем считать, что спрос меняется не только в зависимости от цены, но и в зависимости от ее динамики, т.е.
Тогда аналогом (13.1) является уравнение , решением которого является
В рассматриваемых моделях считалось, что производители ожидают, что цена останется, как в предшествующий период (и устанавливают объем изготавливаемого товара исходя из этих ожиданий). Модель может быть усовершенствована. Для установления объема изготавливаемого товара производителям более реалистично считать, что в момент времени цена на товар будет равна , где , т.е. цена изменится в направлении, обратном тому, в котором она изменялась в прошлый период. Тогда , следовательно,
Дальнейшее развитие модели состоит во введении в нее запасов. Ожидая повышения цен, продавцы создают запасы товара.
Запасы в момент времени обозначим . Тогда изменение запасов за период времени от t-1 до t есть . В модели цену можно устанавливать различными способами, например, или , где - запасы в точке равновесия. В первом случае получим , где , а во втором - .
Модель экономического цикла. Сначала рассмотрим простую модель без учета запаздывания, а также без учета экспорта-импорта, налогов и государственных расходов.
( 4) |
( 5) |
( 6) |
где - символ операции дифференцирования; - реальный чистый доход, - реальное потребление, - объем основного капитала, - положительные константы. Более точно, - сумма всех видов конечных доходов, полученных в народном хозяйстве, деленная на индекс инфляции (т.е. реальный валовой национальный продукт за вычетом затрат на возмещение основного капитала); - общие затраты на потребительские товары конечных покупателей в народном хозяйстве, деленные на индекс инфляции; K - объем основного капитала всего народного хозяйства (в сопоставимых ценах).
Уравнение (4) вытекает из теории Кейнса, а именно, из соотношения: потребление = национальный доход - сбережения + автономное потребление. Значит, - часть дохода, идущая на сбережения, - предельная склонность к сбережениям, - автономное потребление (та доля потребления, которая не зависит от дохода, своеобразный прожиточный минимум).
Уравнение (5) допускает несколько интерпретаций. Рассмотрим две из них.
1. В первой интерпретации - это норма капитальных вложений в основной капитал. Допустим, существует оптимальный объем основного капитала и он равен некоторой доле от национального дохода - , где - оптимальное соотношение "капитал-выпуск". Тогда уравнение (5) означает, что норма капитальных вложений в основной капитал пропорциональна превышению оптимального объема основного капитала над действительным.
2. Основное соотношение, описывающее капитальные вложения, имеет вид:
( 7) |
где P - реальная прибыль, - норма процента, - премия за риск. Из соотношения (7) легко получить (5).
В уравнении (6) - рост производства (поскольку все производство = всему доходу = ). Рост производства зависит от избытка спроса. Потребление ( ) + накопление (оно превращается в капитальные вложения ) - чистый национальный доход ( ) - это и есть избыток спроса (то, что потребляется и накопляется, может быть не равно чистому доходу).
Для равновесной системы все производные по времени равны 0. Равновесные значения и таковы:
( 8) |
( 9) |
Этот результат не предназначен для непосредственного практического использования, т.к. в модели не учитываются ограничения на выпуск, накладываемые рабочей силой и объемом основного капитала. Однако он нужен, чтобы найти отклонения от равновесия - решение системы (4)-(5)-(6)-(8)-(9), где зависят от . В зависимости от и получим согласно теории линейных дифференциальных уравнений следующие четыре варианта траекторий : 1) незатухающие колебания (экономические циклы); 2) затухающие колебания; 3) взрывоподобные колебания; 4) взрывоподобная, но не колебательная траектория.
Довольно часто в экономике реально осуществляется приближение к первому варианту - экономические циклы.
Усложним модель, введем запаздывание. В модели (4)-(6) предполагается мгновенная реакция потребления на изменение дохода. На самом деле это неверно. Вместо уравнения (4) напишем
( 10) |
где - параметр, определяющий быстродействие системы.
Теперь добавим запасы. Вместо уравнения (6) получим
( 11) |
( 12) |
( 13) |
где - оптимальный уровень запасов, равен некоторой постоянной величине + часть потребления и капитальных вложений, - фактический уровень запасов. Уравнение (11) отражает тот факт, что рост производства зависит от избытка спроса и от превышения оптимальных запасов над фактическими. (Уравнения (10) и (11) аналогичны соответствующим соотношениям для паутинообразных моделей.)
Добавим в систему экспорт-импорт, налоги и государственные расходы. Теперь с учетом (11)-(13) получим модель в виде системы уравнений
( 14) |
( 15) |
( 16) |
( 17) |
( 18) |
( 19) |
( 20) |
где - реальный импорт, - реальный объем налогов за вычетом государственных трансфертных платежей, - реальный экспорт, - реальные государственные расходы на товары и услуги.
В уравнении (14) национальный доход, идущий на потребление и накопление, уменьшился на сумму налогов, т.е. по сравнению с (10) произошла замена .
Далее заметим, что теперь - общее потребление товаров как отечественного, так и импортного производства, а теперь есть рост основного капитала частного сектора. Накопление основного капитала частного сектора входит в .
Уравнение (16) отличается от (11) на величину , т.к. - рост производства зависит от избытка спроса, который теперь равен тому, что общество расходует (т.е. потребляет ( ) + вкладывает ( ) + экспорт ( ) + государственные расходы ( )) за вычетом того, что общество получает (национальный доход ( ) + импорт ( )).
Уравнение (17) предполагает, что желаемый уровень запасов есть линейная функция валового сбыта, а валовой сбыт это: 1) сбыт потребительских товаров отдельным потребителям ; 2) сбыт капитальных благ фирмам (капитальные вложения) ; 3) сбыт товаров в государственном секторе ; 4) сбыт иностранным производителям .
Уравнение (18) означает, что изменение запасов равно всем товарам минус весь сбыт .
Уравнение (19) предполагает, что импорт - это доля всего сбыта.
Уравнение (20) предполагает, что налоги - линейная функция доходов, тогда - аналог процентной ставки. То, что в уравнении имеется отрицательная константа , говорит о том, что - возрастающая функция , т.е. чем больше доход, тем больше налог.
При решении системы (14)-(20) выяснилось, в частности, что введение налогов и импорта оказывает на экономику стабилизирующее воздействие.