Смешанные стратегии и проблема устойчивости решений

При множество пар вида , 0<x^*<1, совпадает с нижней стороной квадрата D (см. левый и правый фрагменты третьего ряда на рис. 2.8).

При и A>0 решениям соответствует правая сторона квадрата D, а при A<0 - левая сторона этого квадрата. Такие решения уже рассматривались (их образы представлены на верхних фрагментах рис. 2.8).

Случай , когда множество пар вида , 0<x^*< 1, совпадает с верхней стороной квадрата D, представлен нижними фрагментами на рис. 2.8. При получаем те же решения, что и на верхних фрагментах рис. 2.8 (левый фрагмент - при A>0 и правый фрагмент - при A<0 ).

Рис. 2.8.

Рис. 2.9.

2. Аналогично определяется множество всех пар , удовлетворяющих неравенствам (10.13), которые эквивалентны условиям (10.11). Результаты этого анализа представлены на рис. 2.9.

В случае, когда для значений b и B из (10.8) справедливо, что b=B=0, решениями неравенств (10.11) являются все точки квадрата D. Отмеченная на рисунке величина определяется выражением

( 10.20)

Заметим, что эти результаты можно вывести и из рис. 2.8, если изменить нумерацию игроков (при этом первый игрок становится вторым, а второй - первым), транспонировать их матрицы и поменять местами величины x^* и y^*.

3. Как следует из проведенной классификации (см. рис. 2.8), в зависимости от значений коэффициентов a и A из (10.6) множество решений системы (10.10) либо включает хотя бы одну из боковых сторон квадрата D, либо включает трехзвенную ломаную линию, соединяющую концы одной из диагоналей квадрата.

Аналогично (см. рис. 2.9), в зависимости от значений коэффициентов b и B из (10.8), множество решений системы (10.11) либо включает одну из горизонтальных сторон квадрата D, либо включает ломаную ( трехзвенную ) линию, соединяющую концы одной из диагоналей этого квадрата.

Покажем, что в любом из этих четырех случаев существует хотя бы одна пара (x^*,y^*), являющаяся решением одновременно для обеих систем неравенств (10.10), (10.11) и, следовательно, представляющая собой устойчивое решение смешанного расширения (10.9) исходной биматричной игры.

Пусть решения систем (10.10) и (10.11) включают стороны квадрата D. Тогда они имеют общую точку, являющуюся вершиной этого квадрата, ибо любая боковая и любая горизонтальная стороны квадрата пересекаются в какой-либо его вершине. Левый фрагмент на рис. 2.10 иллюстрирует один из обсуждаемых случаев (A=0,a>0,B=0,b<0 ).

Рис. 2.10.

Рассмотрим случай, когда решения систем (10.10) и (10.11) включают ломаные линии, соединяющие концы диагоналей квадрата. Как следует из рис. 2.8 и рис. 2.9 (см. фрагменты, расположенные во вторых (сверху) рядах), эти монотонные линии необходимо пересекаются в некоторой внутренней точке квадрата (независимо от того, соединяют ли обе ломаные линии концы одной и той же диагонали или концы разных диагоналей). Средний фрагмент на рис. 2.10 представляет возможный случай такого рода ( ).

Пусть теперь множество решений одной из систем (10.10), (10.11) включает сторону квадрата D, а решение другой системы - трехзвенную ломаную линию, соединяющую концы некоторой диагонали этого квадрата. Тогда одна из вершин является решением для обеих систем (10.10), (10.11), ибо каждая сторона квадрата имеет общую вершину с каждой его диагональю. Случай такого рода представлен правым фрагментом на рис. 2.10 ( ).