НОУ ИНТУИТ | Исследование операций и модели экономического поведения. Лекция 13: Матричные игры и линейные программы как модели поведения

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

|

Вам нравится? Нравится 24 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Двойственные задачи линейного программирования и рыночное равновесие. Сведение решения матричной игры к решению пары двойственных задач линейного программирования.

Двойственные задачи линейного программирования и рыночное равновесие

Рассмотрим задачу линейного программирования с ограничениями вида неравенств в следующей интерпретации^{1Многие другие интерпретации
задач линейного программирования представлены, например, в известной
книге: Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. Теория,
методы и приложения. М.: Наука, 1969.}. Пусть некоторая фирма P₁ располагает m видами сырья, используя которые, она может выпускать n типов продукции. Известны цены $c_j \ge 0$ , $1\le j\le n$ , по которым происходит реализация единицы продукции каждого j -го типа, составляющие вектор-столбец

$c = (c_1 \dots c_j \dots c_n)^T,$

где верхний индекс T соответствует операции транспонирования. Известны также запасы $b_i \le 0$ , $1\le i\le m$ , сырья каждого вида, составляющие вектор-столбец

$B = (b_1\dots b_i \dots b_m)^T.$

Наконец, задана матрица A коэффициентов a_ij, $1\le i\le m$ , $1\le j\le n$ , характеризующих количество сырья вида i, необходимое для производства единицы продукции типа j. Требуется определить плановые уровни w_j, $1\le j\le n$ , производства продукции каждого типа, обеспечивающие максимальный доход при заданных сырьевых ресурсах.

Если принять, что план производства описывается вектором-столбцом

$w = (w_1 \dots w_j \dots w_n)^T,$

то условие его обеспеченности сырьевыми ресурсами можно описать с помощью неравенств

$a_{i1} w_1 + \ldots + a_{in} w_n \le b_i,\quad 1 \le i \le m,$

которые можно свернуть в векторную запись вида

$Aw \le b.$

Теперь поставленная задача выбора плана $w^\ast$ , максимизирующего доход

$(c^T, w) = c_1 w_1 + \ldots + c_n w_n,$

может быть представлена в форме следующей математической задачи:

$(c^T, w^\ast) = \max \{(c^T, w)\colon w \ge 0_n,\ Aw \le b\},$

( 12.1)

которую будем называть прямой задачей линейного программирования (с ограничениями типа неравенств).

Заметим, что указанный в (12.1) вектор-столбец 0_n соответствует началу координат в пространстве Rⁿ, а условие $w \ge 0_n$ эквивалентно координатным неравенствам $w_j \ge 0$ , $1 \le j\le n$ . В дальнейшем (там, где это не может вызвать сомнений) мы будем (для краткости записи) опускать нижний индекс при 0_n, указывающий размерность пространства.

Примем, что фирма P₁, помимо продажи своей продукции, может также продавать имеющиеся у нее запасы сырья по ценам, характеризуемым вектором-столбцом

$u = (u_1 \dots u_i \dots u_m)^T.$

Такая продажа может быть экономически оправданной для фирмы P₁, если средства, выручаемые от продажи сырья всех видов, которое необходимо для производства единицы продукции некоторого типа j, будут не меньше, чем выручка от продажи этой единицы продукции. Т.е. экономические мотивы для рассмотренной продажи сырья могут существовать лишь при выполнении неравенств

$a_{1j} u_1 + \ldots + a_{mj} u_m \ge c_{j}, \quad 1 \le j \le n,$

которые можно свернуть в векторную запись вида

$A^T u \ge c.$

Рынок, с которым взаимодействует фирма P₁, продавая продукцию (или сырье), будем рассматривать как вторую (агрегированную) сторону в описываемой операции и обозначать P₂. Естественно принять, что участники рынка, покупающие сырье, заинтересованы в уменьшении своих затрат. Поэтому их задачу можно описать как формирование вектора цен u^*, удовлетворяющего условиям

$(b^T, u^\ast) = \min \{(b^T, u)\colon u \ge 0_m,\ A^T u \ge c\}.$

( 12.2)

Задачу (12.2), решаемую второй стороной и представляющую интересы рынка, будем называть двойственной задачей линейного программирования (с ограничениями вида неравенств).

Для двойственной пары задач (12.1), (12.2) линейного программирования справедлива теорема двойственности . ^{2Два разных доказательства этой теоремы
содержатся в учебном пособии: Мухачева Э.А. Рубинштейн Г.Ш.
Математическое программирование. Новосибирск: Наука, 1987. См. также:
Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М.: Факториал,
1998.} Согласно этой теореме, если одна из задач (12.1) и (12.2) имеет решение, то и вторая задача имеет решение, причем в этом случае

$(c^T, w^\ast) = (b^T, u^\ast).$

( 12.3)

Величины, введенные при описании пары двойственных задач (12.1), (12.2), собраны (для наглядности) ниже.

Заметим, что фактически мы рассматриваем разные механизмы, определяющие цены на продукцию и цены на сырье. Цены, по которым реализуется продукция, считаются заданными и не зависящими от объемов производства. Такая ситуация возможна, например, в случае, когда существует внешний механизм регулирования этих цен, призванный стимулировать производство и продажу товаров из рассматриваемого перечня. При этом цены на сырье (зависящие согласно (12.2) от заданных цен на продукцию) формируются как результат описанных выше взаимодействий производителя и рынка.

Примем теперь, что производитель, выбрав некоторый план производства $w \ge 0_n$ , может продавать на рынке не только произведенную продукцию, но и остатки сырья. Кроме того, он может закупать на рынке недостающее сырье. Продажа и закупка сырья происходит по одним и тем же ценам $u \ge 0_m$ , которые формирует рынок. В такой постановке доход производителя, который мы будем рассматривать как критерий M(w,u) первой стороны, определяется выражением

$\begin{gathered} M(w,u) = \sum_{j=1}^n c_j w_j + \sum_{i=1}^m u_i\left(b_i - \sum_{j=1}^n a_{ij} w_j\right) =\\ = \sum_{i=1}^m u_i b_i + \sum_{j=1}^n w_j\left(c_j - \sum_{i=1}^m a_{ij} u_i\right)\!, \end{gathered}$

( 12.4)

или (в векторной форме)

( 12.5)

Если принять, что производитель имеет достаточное финансовое обеспечение, любой план производства $w \ge 0_n$ является допустимым. Допустим также и любой вектор $u \ge 0_m$ , формируемый рынком, интересы которого противоположны интересам производителя, желающего максимизировать свой доход.

В результате получаем, что отношения сторон P₁ и P₂ характеризуются антагонистической игрой с ядром M(w,u) и множествами стратегий сторон, определяемыми соответственно условиями $w \ge 0_n$ и $u \ge 0_m$ .

Исследуем вопрос о существовании равновесного поведения сторон, т.е. вопрос о существовании пары стратегий (w^*,u^*), являющейся седловой точкой ядра M(w,u). Оценим величину дохода производителя, гарантируемую выбором плана $w\ge 0_n$ . Согласно (12.4),

$\min_{u \ge 0} M(w,u) = \left\{ \begin{aligned} & (c^T, w),&& (\forall i =1\dots m)\ \sum_{j=1}^n a_{ij} w_j \le b_i,\\ & \ -\infty, && (\exists i,\, 1 \le i \le m)\ \sum_{j=1}^n a_{ij} w_j > b_i. \end{aligned} \right.$

Действительно, при выполнении условия $Aw\le b$ выбор вектора u=0_m минимизирует доход M(w,u), поскольку вынуждает производителя отдавать излишки сырья по нулевым ценам. В случае, когда реализация принятого производителем плана $w \ge 0_n$ требует покупки недостающего сырья вида i, вторая сторона может неограниченно уменьшать доход P₁ путем увеличения цены u_i на дефицитное (для P₁ ) i -е сырье. Следовательно,

$\max_{w \ge 0} \min_{u \ge 0} M(w,u) = \max \left\{ (c^T, w) \colon w \ge 0_n,\, Aw \ge b \right\}\!.$

( 12.6)

Т.е. производитель может максимизировать гарантированный доход, если откажется от закупок недостающего сырья и ограничится имеющимися запасами. В состав этих запасов могут входить и те объемы, на поставку которых заблаговременно заключены соответствующие контракты^{3Необходимость заблаговременного
обеспечения производства сырьем и комплектующими (например, на договорной основе)
является обстоятельством, хорошо известным в практике рыночной
деятельности.}. Таким образом, максиминная стратегия стороны P₁ (если такая стратегия существует) является решением w^* прямой задачи линейного программирования; ср. (12.1) и (12.6).

Теперь оценим возможные максимальные затраты второй стороны P₂, соответствующие некоторому вектору $u \ge 0_m$ цен за сырье. Согласно (12.4),

$\min_{w \ge 0} M(w,u) = \left\{ \begin{aligned} & (b^T, u),&& (\forall j =1\dots n)\ \sum_{i=1}^m a_{ij} u_i \le c_j,\\ & \ +\infty, && (\exists j,\, 1 \le j \le n)\ \sum_{i=1}^m a_{ij} u_i > c_j. \end{aligned} \right.$

Действительно, при выполнении условия $A^T u \ge c$ выбор плана w=0_n (т.е. отказ от производства продукции) максимизирует доход M(w,u) первой стороны (или затраты второй стороны). В этом случае продажа сырья дает не меньший доход, чем продажа продукции, произведенной из этого сырья.

Допустим, что доход от продажи продукции некоторого типа j превышает затраты на приобретение сырья, необходимого для производства единицы этой продукции. Тогда производитель может неограниченно увеличивать свой доход, закупая сырье в ассортименте, необходимом для производства продукции типа j. Заметим, что это рассуждение предполагает наличие у производителя необходимых оборотных средств (или возможность использования кредитов). Таким образом (при указанных условиях),

$\min_{u \ge 0} \max_{w \ge 0} M(w,u) = \min \left\{ (b^T, u) \colon u \ge 0_m,\, A^T u \ge c \right\}\!.$

( 12.7)

Т.е. вторая сторона может минимизировать свои возможные максимальные затраты, если установит такие цены на сырье, что производитель откажется от производства. При этом минимаксная стратегия стороны P₂ (если такая стратегия существует) является решением u^* двойственной задачи линейного программирования; ср. (12.2) и (12.7).

Теперь из (12.1)-(12.3) вытекает, что

$(c^T, w^\ast) = \max_{w \ge 0} \min_{u \ge 0} M(w,u) = \min_{u \ge 0} \max_{w \ge 0} M(w,u) = (b^T, u^\ast).$

Следовательно, если хотя бы одна из пары (12.1), (12.2) двойственных задач линейного программирования имеет решение, то функция M(w,u) имеет седловую точку (см. теорему о необходимых и достаточных условиях существования седловой точки ядра в "Принцип максимина и устойчивость решений в антагонистических конфликтах" ), т.е.

$(\forall w \ge 0_n) (\forall u \ge 0_m)\ M(w, u^\ast) \le M(w^\ast, u^\ast) \ge M(w^\ast, u),$

( 12.8)

$M(w^\ast, u^\ast) = (c^T, w^\ast) = (b^T, u^\ast).$

( 12.9)

Таким образом, мы установили, что пара двойственных задач линейного программирования определяет равновесную ситуацию (w^*,u^*) на рассмотренном выше рынке.

Дальше >>

Менеджмент предприятия

Исследование операций и модели экономического поведения

Матричные игры и линейные программы как модели поведения

Двойственные задачи линейного программирования и рыночное равновесие

Вопросы и ответы

Авторизоваться

Менеджмент предприятия

Исследование операций и модели экономического поведения

Матричные игры и линейные программы как модели поведения

Двойственные задачи линейного программирования и рыночное равновесие

Вопросы и ответы