Опубликован: 20.04.2011 | Уровень: для всех | Доступ: платный
Лекция 15:

Сети очередей

< Лекция 14 || Лекция 15: 12345 || Лекция 16 >
Другие алгоритмы для сетей очередей

MVA -алгоритм также применим к сетям очередей с большим количеством цепочек, но это не будет описано здесь. В течение прошлого десятилетия были разработаны несколько алгоритмов. Их краткий обзор приводится в (Conway и Georganas, 1989 [15]). Вообще, для больших сетей точные алгоритмы не применимы. Поэтому, чтобы иметь дело с сетями очередей реального размера, было разработано много приблизительных алгоритмов.

Сложность

Сети очередей имеют такую же сложность, что и сети с коммутацией каналов и прямой маршрутизацией (секция 11.5 и табл. 11.2). Пространство состояний сети, показанной в таблице 14.3, имеет следующее число состояния для каждого узла:

\Pi_{i=0}^N(S_i+1) ( 14.20)

Худший случай - тот, когда каждая цепочка состоит из одного клиента. Тогда число состояний становится 2^S, где S - число клиентов.

Таблица 14.3. Параметры сети организации очереди с N цепочками, K узлами и \sum_iS_i клиентами. Параметр \alpha_{jk} обозначает нагрузку от клиентов цепочки j в узле k (см. Табл. 11.2).
Цепочка Узел \begin{matrix}1&2&\dots & K \end{matrix} Число клиентов
1 \begin{matrix} \alpha_{11}& \alpha_{21} &\dots & \alpha_{K1}  \end{matrix} S_1
2 \begin{matrix} \alpha_{12} & \alpha_{22} &\dots & \alpha_{K2} \end{matrix} S_2
\dots \dots \dots
N \begin{matrix} \alpha_{1N} & \alpha_{2N} &\dots & \alpha_{KN} \end{matrix} S_N
Оптимальное распределение производительности

Рассмотрим систему передачи данных с K узлами, которые являются независимыми узлами системы организации очереди с одним обслуживающим прибором M/M/1 (Эрланговская система с ожиданием с одним обслуживающим прибором). Процесс поступления вызовов к узлу k - Пуассоновский процесс с интенсивностью \lambda_k сообщений (клиентов) в единицу времени. Размер сообщения - экспоненциально распределенное значение со средней величиной 1/\mu_k [бит]. Пропускная способность узла k - равна \varphi_k [бит в единицу времени]. Среднее время обслуживания равно:

s=\frac{1/\mu_k}{\varphi_k}=\frac{1}{\mu_k \varphi_k}

Так что средняя скорость обслуживания - \mu_k * \varphi_k, а среднее время пребывания определяется (12.34):

m_{1,k}=\frac{1}{\mu_k \varphi_k - \lambda_k}

Вводим следующее линейное ограничение на полную производительность:

F=\sum_{k=1}^K \varphi_k ( 14.21)

Для каждого распределения производительности, которая удовлетворяет (14.21), получаем следующее среднее время пребывания для всех сообщений (математическое ожидание вызова):

m_1=\sum_{k=1}^K \frac{\lambda_k}{\lambda}*\frac{1}{\mu_k* \varphi_k - \lambda_k} ( 14.22)

где

\lambda=\sum_{k=1}^K \lambda_k ( 14.23)

Применяя (13.14), получаем полное среднее время обслуживания:

\frac{1}{\mu}=\sum_{k=1}^K \frac{\lambda_k}{\lambda}*\frac{1}{\mu_k} ( 14.24)

Полная предложенная нагрузка тогда:

A=\frac{\lambda}{\mu*F} ( 14.25)

Закон Клейнрока для оптимального распределения производительности (Kleinrock, 1964 [65]) сформулирован следующим образом.

Теорема 14.2. Закон квадратного корня Закон квадратного корня (закон Клейнрока): оптимальное распределение производительности ( \varphi_k ), которое минимизирует m_1 (и таким образом общее количество сообщений во всех узлах):

\varphi_k=\frac{\lambda_k}{\mu+k}+F*(1-A)\frac{\sqrt{\lambda_k \mu_k}}{\sum_{i=1}^K \sqrt{\lambda_i \mu_i}}, ( 14.26)

при условии, что:

F > \sum_{k=1}^K \frac{\lambda_k}{\mu_k} ( 14.27)

Доказательство. Вводя множитель \vartheta Лагранжа и рассматривая:

G=m_1- \vartheta \left \{ \sum_{k=1}^K \varphi_k -F \right \}. ( 14.28)

Минимум G получен, если выбирать \varphi_k, как приведено в (14.26). С этим оптимальным распределением находим среднее время пребывания:

m_1=\frac{\left \{\sum_{k=1}^K \sqrt{\lambda_k/ \mu_k} \right \}^2}{\lambda*F*(1-A)} ( 14.29)

Это оптимальное распределение соответствует тому случаю, когда необходимая минимальная производительность \lambda_k/ \mu_j сначала распределена между всеми узлами. Остающаяся производительность (14.24):

F-\sum_{k=1}^K=F*(1-A) ( 14.30)

Данная производительность распределена между узлами пропорционально квадратному корню из среднего потока \lambda_k/ \mu_k.

Если все сообщения имеют одинаковую среднюю величину (\mu_k= \mu) то мы можем рассчитать различные затраты в узлах, согласно ограничению, которое фиксирует количество доступных узлов (Kleinrock,1964 [65]).

Краткие итоги

  • Многие системы могут быть представлены как сеть, в которой клиент получает доступ к услуге через нескольких последовательных узлов, обслуживается только одним узлом и далее сразу продолжает обслуживание на другом узле.
  • Система - сеть очередей - это сеть организации очередей, где каждая отдельная очередь является узлом. Примеры сетей очередей - телекоммуникационные системы, компьютерные системы, сети пакетной коммутации.
  • В сетях очередей мы определяем длину очереди на данном узле как общее количество клиентов в этом узле, включая обслуживаемых клиентов.
  • Сети очередей разделяются на закрытые и открытые сети. В закрытых сетях очередей число клиентов постоянно, тогда как в открытых сетях очередей число клиентов изменяется.
  • Состояние сети очередей определяется как одновременное распределение числа клиентов на каждом узле. Если K обозначает общее количество узлов, то состояние отображается вектором
  • P(i_1, i_2, \dots, i_K) , где i_k - число клиентов на узле k (k = 1, 2, \dots, K) .
  • Пространство состояний является очень большим, и, решая уравнения равновесия узла, трудно вычислить вероятности состояния. Вероятности состояния сетей с мультипликативной формой могут быть объединены и получены, используя алгоритм свертывания (секция 14.4.1) с помощью MVA - алгоритма.
  • Сети очередей могут быть обобщены, если есть N типов клиентов. Клиенты одного заданного типа принадлежат так называемой цепочке.
  • Четыре модели организации очереди обладают свойством, при котором процесс выхода из системы организации очереди - Пуассоновский процесс: M/M/n, M/G/ \infty , M/G/1-PS, M/G/1-LCFS-PR.
  • Джексон показал, что M/M/n -узлы сети очередей имеют мультипликативную форму. Ключевая точка теоремы Джексона: каждый узел можно рассматривать независимо от всех других узлов и вероятности состояний можно определить, используя C-формулу Эрланга.
  • При обслуживании заявок клиентов на сетях очередей часто будет возникать "зацикливание", когда заявка клиента посещает один и тот же узел несколько раз. Если мы имеем сеть очередей с заявками зацикливания, где узлы - системы M/M/n, то процессы поступления вызовов к отдельным узлам не будут Пуассоновскими процессами.
  • В сети с информацией обратной связи процесс поступления вызовов будет взрывной. То есть когда имеется один (или больше) клиентов в системе, интенсивность поступления к каждому узлу будет относительно высока, тогда как если нет никаких клиентов в системе, то интенсивность поступления будет очень низка.
  • В случае взрывного процесса, вместо того, чтобы рассматривать единственное экспоненциальное распределение интервала, мы можем анализировать k фаз и рассматривать каждую фазу как поступление.
  • Теория сети очередей принимает, что пакет (клиент) производит выбор нового времени обслуживания на каждом узле. Это необходимое предположение для мультипликативной формы.
  • Расчет открытых систем прост. Сначала мы получаем объединенную интенсивность прибытия к каждому узлу ( A_k ), далее получаем предложенную нагрузку A_k на каждом узле, затем, рассматривая Эрланговскую систему с ожиданием, получаем вероятности состояния для каждого узла.
  • Исследование закрытых сетей с очередями намного сложнее, чем открытых. Мы можем получить относительную нормализованную вероятность состояния. Наконец, нормализуя, мы получим нормализованные вероятности состояния.
  • Сети очередей с более чем одним типом клиентов также имеют мультипликативную форму, при условии, что каждый узел имеет симметричную систему организации очереди и клиенты классифицированы в N цепочки. Каждая цепочка характеризуется своим собственным средним временем обслуживания s_i и вероятностями перехода p_{ij} (BCMP-сети).
  • Многомерные сети организации очереди - это сети очередей с более чем одним типом клиентов. Клиенты одного и того же типа принадлежат заданному классу или цепочке.
  • M/M/1 -система организации очереди с одним обслуживающим прибором при одной из интерпретаций может рассматриваться как система совместного использования процессора. То есть все (i + j) , клиентов совместно используют обслуживающий прибор, а производительность сервера является постоянной.
  • Системы организации очереди c одним обслуживающим прибором и большим количеством типов клиентов будут иметь мультипликативную форму только тогда, когда узел имеет симметричную систему организации очереди: M/G/1-PS, M/G/1-LCFS -PR или M/M/1 с одинаковым временем обслуживания для всех клиентов.
  • M/M/n система организации очереди при (i + j) \le n может быть рассчитана с помощью B-формулы Эрланга. При (i + j)> n решение может быть получено только для простого случая, когда \mu_i= \mu то есть когда все типы (цепочки) клиентов имеют одинаковое среднее время пребывания в системе.
  • Рассмотрение сетей очередей, имеющих много цепочек, аналогично случаю с единственной цепочкой. Основное различие состоит в том, что классическая формула и алгоритмы заменены соответствующей многомерной формулой. Алгоритм по существу применяется такой же, как и в случае единственной цепочки.
  • Закон квадратного корня (закон Клейнрока): оптимальное распределение производительности (, которое минимизирует m1 (и таким образом общее количество сообщений во всех узлах):

    \varphi_k=\frac{\lambda_k}{\mu+k}+F*(1-A)\frac{\sqrt{\lambda_k \mu_k}}{\sum_{i=1}^K \sqrt{\lambda_i \mu_i}},
< Лекция 14 || Лекция 15: 12345 || Лекция 16 >
Нияз Сабиров
Нияз Сабиров

Здравствуйте. А уточните, пожалуйста, по какой причине стоимость изменилась? Была стоимость в 1 рубль, стала в 9900 рублей.

Елена Сапегова
Елена Сапегова

для получения диплома нужно ли кроме теоретической части еще и практическую делать? написание самого диплома требуется?

Иван Бузмаков
Иван Бузмаков
Россия, Сарапул
Никита Сомов
Никита Сомов
Россия, Удмуртская республика