Опубликован: 20.04.2011 | Уровень: для всех | Доступ: платный
Лекция 15:

Сети очередей

< Лекция 14 || Лекция 15: 12345 || Лекция 16 >
МУЛ-алгоритм

Алгоритм средней величины (MVA - Mean Value Algorithm ) - это алгоритм для вычисления критериев качества работы сетей очередей. Он изящным образом сочетает два главных результата в теории организации очереди: теорему прибытия (8.27) и закон (формулу) Литтла (5.20). Алгоритм был сначала опубликован Lavenberg и Reiser (1980 [72]).

Мы рассматриваем сеть организации очереди с K узлами и S клиентами (все принадлежат одной цепочке). Относительные нагрузки узлов обозначены \alpha_k(k = 1, 2, \dots , K) . Алгоритм рекурсивный по числу заявок от клиентов сети, то есть сеть с x + 1 заявкой от клиентов получается из сети, обслуживающей x заявок.

Примем, что среднее число заявок оот клиентов в узле k равно L_k (x) , где x - общее количество клиентов в сети. Очевидно, что:

\sum_{k=1}^KL_k(x)=x. ( 14.11)

Алгоритм выполняется рекурсивно за два шага.

Шаг 1.

Увеличьте число заявок от клиентов от x до (x+1) . Согласно теореме прибытия, (x+ 1) -ый клиент поступит в систему, когда система с x клиентами находится в статистическом равновесии. Следовательно, среднее время пребывания (время ожидания + время обслуживания) в узле k:

  • для M/M/1, M/G/1-PS M/G/1-LCFS-PR

    W_k(x+1)=\{L_k(x)+1\}*s_k.
  • для M/G/\infty:

    W_k(x+1)=s_k.

    где s_k- среднее время обслуживания в узле k, который имеет n_k приборов. Для вычисления средних времен ожидания мы можем принять FCFS -дисциплину организации очереди.

Шаг 2.

Используя формулу Литтла ( L = \lambda W ), которая применима для всех систем в статистическом равновесии, для узла k мы получим:

L_k(x+1)=c*\lambda_k*W_k(x+1),

где \lambda_k - относительная интенсивность поступления заявок к узлу k. Константа нормализации c получена, исходя из общего количества клиентов:

\sum_{k=1}^KL+k(x+1)=x+1. ( 14.13)

За эти два шага мы выполнили рекурсию от x до (x + 1) заявок. Для x = 1 нет никакого времени ожидания в системе, и W_k (1) равняется среднему времени обслуживания s_k. Ниже был показан MVA -алгоритм для одного узла обслуживания, но довольно просто делать вывод для узлов или с несколькими обслуживающими приборами или с бесконечным числом обслуживающих приборов.

Пример 14.4.3: Модель с центральным обслуживающим прибором

Применим MVA -алгоритм к модели с центральным обслуживающим прибором (Пример 14.4.2). Относительная интенсивность поступления:

\lambda_1=1,\\
\lambda_2=0.7,\\
\lambda_3=0.2
Узел 1 Узел 2 Узел 3
S=1 W_1(1)=28 W_2(1)=40 W_3(1)=280
L_1(1)=c*1*28 L_2(1)=c*0.7*40 L_3(1)=c*0.2*280
L_1(1)=0.25 L_2(1)=0.25 L_3(1)=0.50
S=2 W_1(2)=1.25*28 W_2(2)=1.25*40 W_3(2)=1.50*280
L_1(2)-c*1*1.25*28 L_2(2)c*0.7*1.25*40 L_3(2)=c*0.2*1.50*280
L_1(2)=0.4545 L_2(2)=0.4545 L_3(2)=1.0909
S=3 W_1(3)=1.4545*28 W_2(3)=1.4545*40 W_3(3)=2.0909*280
L_1(3)=c*1*1.4545*28 L_2(3)=c*0.7*1.4545*40 L_3(3)=c*0.2*2.0909*280
L_1(3)=0.6154 L_2(3)=0.6154 L_3(3)=1.7692
S=4 W_1(4)=1.6154*28 W_2(4)=1.6154*40 W_3(4)=2.7692*280
L_1(4)=c*1*1.6154*28 L_2(4)=c*0.7*1.6154*40 L_3(4)=c*0.2*2.7692*280
L_1(4)=0.7368 L_2(4)=0.7368 L_3(4)=2.5263

Естественно, что результат идентичен тому, который получен при применении алгоритма свертывания. Время пребывания на каждом узле (выраженное через единицу времени):

W_1(4)=1.6154*28=45.23\\
W_2(4)=1.6154*40=64.62,\\
W_3(4)=2.7693*280=775.38
Пример 14.4.4: MVA-АЛГОРИТМ, в приложении к модели Пальма (восстановления машин)

Мы рассматриваем модель Пальма восстановления машин с S источниками, конечным временем раздумья и центральным процессором (время обслуживания равняется одной единице времени). Как было упомянуто в секции 12.5.2, эта модель эквивалентна системе с потерями Эрланга с S серверами и предложенной нагрузкой A. Это также закрытая сеть организации очереди с двумя узлами и S клиентами в одной цепочке. Если мы применяем MVA -алгоритм к этой системе, то получаем рекурсивную формулу Эрланга - B-формулу (7.29). Относительная интенсивность посещения идентична той с которой клиент соответственно посещает первый или второй узел: \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda.

Узел 1 Узел 2
S=1 W_1(1)=A W_2(1)=1
L_1(1)=c*1*A L_2(1)=c*1*1
L_1(1)=\frac{1}{1+A} L_2(1)=\frac{1}{1+A}
S=2 W_1(2)=A W_2(2)=1+\frac{1}{1+A}
L_1(2)=c*1*A L_2(2)=c*1*(1+\frac{1}{1+A})
L_1(2)=A*\frac{1+A}{1+A+\frac{a^2}{2!}} L_2(2)=2-A*\frac{1+A}{1+A+\frac{a^2}{2!}}

Мы знаем, что длина очереди в терминалах (узел 1) равна обслуженной нагрузке, измеренной в Эрлангах - в системе, и что все другие заявки клиенты находятся в центральном процессоре (узел 2). Мы, таким образом, имеем:

Узел 1 Узел 2
S=x W_1(x)=A W_2(x)=1+L_2(x-1)
L_1(x)=c*A L_2(x)=c*\{1+L_2(x-1)\}
L_1(x)=A*\{1-E_x(A)\} L_2(x)=x-A*\{1-E_x(A)\}

Из этого получаем нормировочную константу c=1-E_x(A) и находим для (x+1) того клиента:

L_1(x+1)+L_2(x+1)=c*A+c\{1+L_2(x)\},\\
=c*A+c*\{1+x-A*(1-E_x)\}\\
=x+1,\\
E_{x+1}=\frac{A*E_x}{x+1+A*E_x},

потому что c=1-E_{x+1}. Это рекурсивная формула для системы B-Эрланга.

BCMP-сети очередей

В 1975 г. вторая модель Джексона была далее обобщена Baskett, Chandy, Muntz и Palacios (1975 [4]). Они показали, что сети очередей с более чем одним типом клиентов также имеют мультипликативную форму, при условии, что:

  • каждый узел имеет симметричную систему организации очереди см. секцию 14.2: Пуассоновский поток вызовов \to Пуассоновский процесс освобождения);
  • заявки от клиентов классифицированы в N цепочки. Каждая цепочка характеризуется своим собственным средним временем обслуживания s_i и вероятностями перехода p_{ij}. Кроме того, после окончания обслуживания в узле клиент может переходить из одной цепочки к другой с некоторой вероятностью. Имеется одно ограничение: если дисциплина организации очереди в узле - M/M/n (включая M/M/1 ), то среднее время обслуживания должно быть идентично для всех цепочек в узле.

BCMP -сети могут быть рассчитаны с помощью многомерного алгоритма свертывания и многомерного MVA -алгоритма.

Смешанные сети очередей (открытые и закрытые) рассчитываются сначала путем вычисления нагрузки от открытых цепочек в каждом узле. Эту нагрузку нужно обслуживать так, чтобы соблюдалось статистическое равновесие.

Производительность этих узлов уменьшается на эту нагрузку, и закрытая сеть очередей рассчитывается уже с меньшей производительностью. Так что главная проблема состоит в расчете закрытых сетей. Для этого мы можем использовать много алгоритмов, среди которых самыми важными являются алгоритмы свертывании и Алгоритм Средней величины ( MVA - Mean Value Algorithm ).

< Лекция 14 || Лекция 15: 12345 || Лекция 16 >
Нияз Сабиров
Нияз Сабиров

Здравствуйте. А уточните, пожалуйста, по какой причине стоимость изменилась? Была стоимость в 1 рубль, стала в 9900 рублей.

Елена Сапегова
Елена Сапегова

для получения диплома нужно ли кроме теоретической части еще и практическую делать? написание самого диплома требуется?

Иван Бузмаков
Иван Бузмаков
Россия, Сарапул
Никита Сомов
Никита Сомов
Россия, Удмуртская республика