Эйлеровы графы

Эйлеровы графы

Эйлеровым путем в графе называется путь, содержащий все ребра графа. Эйлеровым циклом в графе называется цикл, содержащий все ребра графа.

Связный граф называется эйлеровым, если существует замкнутая цепь, проходящая через каждое его ребро. Такая цепь называется эйлеровой цепью. Отметим, что в этом определении требуется, чтобы каждое ребро проходилось только один раз. Если снять ограничение на замкнутость цепи, то граф называется полуэйлеровым, при этом каждый эйлеров граф будет полуэйлеровым.

Примеры.

Заметим, что предположение о связности графа введено только ради удобства, так как оно позволяет не рассматривать тривиальный случай графа, содержащего несколько изолированных вершин.

Задачи с эйлеровыми графами часто встречаются в книгах по занимательной математике — например, можно ли нарисовать какую-нибудь диаграмму, не отрывая карандаша от бумаги и не проходя никакую линию дважды. Название "эйлеров" возникло в связи с тем, что Эйлер первым решил знаменитую задачу о Кенигсбергских мостах, в которой нужно было узнать, имеет ли граф, изображенный на рисунке, эйлерову цепь (не имеет!).

Принято всякую замкнутую линию, если ее можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги, проходя при этом каждый участок в точности один раз, называть уникурсальной. Рисунок графа, обладающего эйлеровым путем или эйлеровым циклом, является уникурсальной линией.

Теорема 4.1. Если граф обладает эйлеровым циклом, то он является связным, а все его вершины — четными.

Доказательство Связность графа следует из определения эйлерова цикла. Эйлеров цикл содержит каждое ребро и притом только один раз, поэтому, сколько раз эйлеров путь приведет конец карандаша в вершину, столько и выведет, причем уже по другому ребру. Следовательно, степень каждой вершины графа должна состоять из двух одинаковых слагаемых: одно результат подсчета входов в вершину, другое — выходов.

Верно и обратное утверждение.

Теорема 4.2. Если граф связный и все его вершины четные, то он обладает эйлеровым циклом.

Доказательство Если начать путь из произвольной вершины графа , то найдется цикл, содержащий все ребра графа.

Пример.

Пусть — произвольная вершина графа . Из начнем путь по одному из ребер и продолжим его, проходя каждый раз по новому ребру.

Все вершины графа имеют четные степени, поэтому если есть "выход" из , то должен быть и "вход" в , так же как и для любой другой вершины. И если есть "вход" в вершину, то должен быть и "выход".

Так как число ребер конечно, этот путь должен окончиться, причем в вершине . На рисунке путь и направление его обхода показаны кривыми со стрелками.

Если путь , замкнувшийся в , проходит через все ребра графа, значит, мы получили искомый эйлеров цикл.

Если остались непройденные ребра, то должна существовать вершина , принадлежащая и ребру, не вошедшему в .

Так как — четная, то число ребер, которым принадлежит и которые не вошли в путь , тоже четно. Начнем новый путь из и используем только ребра, не принадлежащие . Этот путь кончится в . На рисунке путь обозначен прямыми линиями со стрелками. Объединим теперь оба цикла: из пройдем по пути к , затем по циклу и, вернувшись в , пройдем по оставшейся части пути обратно в .

Если снова найдутся ребра, которые не вошли в путь, то найдем новые циклы. Число ребер и вершин конечно, процесс закончится.

Итак, приведен алгоритм, позволяющий отыскать эйлеров цикл, и показано, что он применим во всех случаях, допускаемых условиями теоремы.

Таким образом, замкнутую фигуру, в которой все вершины - четные, можно начертить одним росчерком без повторений, начиная обводить ее с любой точки.

Если граф не обладает эйлеровым циклом, то можно поставить задачу об отыскании одного эйлерова пути или нескольких эйлеровых путей, содержащих все ребра графа.