Кратчайшие пути

Кратчайшие пути

В этой лекции рассматриваются связные графы с неотрицательными весами ребер. Вес пути в графе определяется как сумма весов ребер этого пути. Кратчайшим путем между двумя вершинами называется путь наименьшего веса, соединяющий эти вершины. Рассмотрим задачу отыскания кратчайших путей от заданной вершины до всех остальных вершин графа. Возможно, более естественной постановкой задачи кажется поиск кратчайшего пути между двумя заданными вершинами. Однако в настоящее время не известно никакого способа решения этой задачи, существенно лучшего, чем поиск кратчайших путей от начальной вершины до всех остальных.

Геодезическое дерево

Пусть - вершина связного графа с заданной на множестве ребер весовой функцией с неотрицательными значениями. Каркас графа с корнем называется геодезическим деревом, если для любой вершины путь между вершинами и в дереве является кратчайшим путем между этими вершинами в графе . Это обобщает понятие геодезического дерева, введенное в "лекции 4" и соответствующее случаю, когда все веса равны 1. Докажем сначала, что геодезическое дерево всегда существует.

Обозначим через вес кратчайшего пути между вершинами и в графе . Дерево с корнем назовем частичным геодезическим деревом, (ЧГД), если существует такое геодезическое дерево с корнем , что является подграфом дерева . Иначе говоря, ЧГД - это корневое дерево, которое можно достроить до геодезического дерева с тем же корнем.

Пусть - множество всех вершин графа . Для множества через обозначаем дополнение до .

Теорема 1. Пусть - ЧГД с корнем и множеством вершин в графе , - ребро c наименьшим значением величины среди всех ребер , где , . Тогда - ЧГД с корнем .

Доказательство.

Рассмотрим в дереве путь , соединяющий вершину с корнем . Он состоит из пути между вершинами и в дереве и ребра , следовательно, .

( 1)

Мы должны доказать, что он является кратчайшим путем между вершинами и в графе . Допустим, имеется путь между этими вершинами, такой, что.

( 2)

Пусть - первое ребро пути , у которого , (считаем, что путь начинается в вершине ). Так как веса ребер неотрицательны, то

( 3)

Из (1), (2) и (3) следует неравенство , противоречащее выбору ребра .

Эта теорема показывает, что геодезическое дерево можно построить с помощью следующего алгоритма.

Алгоритм 1. Построение геодезического дерева для вершины .

1. cоздать дерево из одной вершины
2. 
3. 
4. while do
5. cреди ребер , где , , найти ребро c наименьшим значением величины ;
6. добавить к дереву вершину и ребро ;
7. 

Этот алгоритм очень похож на алгоритм Прима для построения оптимального каркаса. Единственное отличие между ними состоит в правиле выбора ребра, присоединяемого к строящемуся дереву на очередном шаге. В алгоритме Прима выбирается ребро наименьшего веса, а в алгоритме для построения геодезического дерева - ребро с минимальным значением величины . Ясно, что и оценка трудоемкости нового алгоритма будет такая же, как и для алгоритма Прима, то есть . Подобно алгоритму Прима, этот алгоритм можно рационализировать, понизив тем самым оценку трудоемкости до . Усовершенствованный алгоритм поиска кратчайших путей известен как алгоритм Дейкстры.