НОУ ИНТУИТ | Графы и алгоритмы. Лекция 3: Важнейшие классы графов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 27.09.2006 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

|

Вам нравится? Нравится 42 студентам

| Поделиться |

Поддержать

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Деревья. Центр дерева. Корневые деревья. Каркасы. Двудольные графы. Планарные графы.

Ключевые слова: дерево, граф, компонента связности, Лес, вершина, висячая вершина, листья, Несвязный граф, путь, диапазон, эксцентриситет, выделенная вершина, корневое дерево, корень, прямой, ребро, исходящее, отец, сын, предок, потомок, ветвь, высота, Обыкновенным графом, каркас, подграф, цикломатическое число, точное число, степень вершины, матрица, каркас графа, двудольный, доля, двудольный граф, простая цепь, множества, значение, отношение, инцидентен, граф отношения, разбиение множества, разбиение, алгоритм, множество вершин, цикла, хордами, простой цикл, хорда, Геометрический граф, плоский граф, плоская укладка, планарный граф, плоскость, грани, внешняя, внутренняя, граница грани, удаление ребра, неравенство, гомеоморфный, Гомеоморфные графы, стягиваемым

Деревья

Деревом называется связный граф, не имеющий циклов. В графе без циклов, таким образом, каждая компонента связности является деревом. Такой граф называют лесом.

Из теоремы 2 "Маршруты, связность, расстояния" следует, что во всяком дереве, в котором не меньше двух вершин, имеется вершина степени 1. Такие вершины называют висячими вершинами, или листьями. В действительности легко доказать, что в каждом дереве не меньше двух листьев, а цепь $P_{n}$ - пример дерева, в котором точно два листа.

В следующих двух теоремах устанавливаются некоторые свойства деревьев.

Теорема 1. Граф с вершинами и ребрами является деревом тогда и только тогда, когда он удовлетворяет любым двум из следующих трех условий:

(1) связен;
(2) не имеет циклов;
(3) .

Доказательство.

Первые два условия вместе составляют определение дерева. Покажем, что выполнение любых двух из условий (1)-(3) влечет за собой выполнение третьего.

(1) и (2) $\Rightarrow$ (3). Индукция по числу вершин. При n=1 утверждение очевидно. При $n\ge 2$ в дереве имеется хотя бы один лист. Если из дерева удалить лист, то снова получится дерево, так как циклов не появится, а связность, очевидно, сохранится. В этом новом дереве n-1 вершин и, по предположению индукции, n-2 ребра. Следовательно, в исходном дереве было n-1 ребро.

(2) и (3) $\Rightarrow$ (1). Пусть в графе, не имеющем циклов, n-1 ребро, а его компонентами связности являются $G_{1} ,G_{2}\ldots G_{k}$ , причем $G_{i}$ состоит из $n_{i}$ вершин, $i=1\ldots k$ . Каждая компонента является деревом, поэтому, как доказано выше, число ребер в $G_{i}$ равно $n_{i} -1$ , а всего ребер в графе $\suml_{i=1}^{k}\left(n_{i} -1\right) =n-k=n-1$ . Значит, k=1 и граф связен.

(1) и (3) $\Rightarrow$ (2). Рассмотрим связный граф с n-1 ребром. Если бы в нем был цикл, то, удалив любое цикловое ребро, мы получили бы связный граф с меньшим числом ребер. Можно продолжать такое удаление ребер до тех пор, пока не останется связный граф без циклов, то есть дерево. Но ребер в этом дереве было бы меньше, чем n-1 , а это противоречит доказанному выше.

Теорема 2. Если - дерево, то

в любая пара вершин соединена единственным путем;
при добавлении к любого нового ребра образуется цикл;
при удалении из любого ребра он превращается в несвязный граф.

Доказательство.

Существование пути между любыми двумя вершинами следует из связности дерева. Допустим, что в некотором дереве существуют два различных пути, соединяющих вершины и . Начальные отрезки этих путей совпадают (оба пути начинаются в одной и той же вершине ). Пусть - последняя вершина этого совпадающего начала, а после в одном пути следует вершина $y_{1}$ , а в другом - вершина $y_{2}$ . Рассмотрим ребро $\left(x,y_{1}\right)$ . Если его удалить из графа, то в оставшемся подграфе вершины $y_{1}$ и будут соединимыми - соединяющий их маршрут можно построить так: взять отрезок первого пути от $y_{1}$ до и к нему присоединить отрезок второго от до , взятый в обратном порядке. Но это означает, что ребро $\left(x,y_{1}\right)$ не является перешейком. Однако из теоремы 4 "Маршруты, связность, расстояния" следует, что в дереве каждое ребро является перешейком. Этим доказано утверждение 1). Утверждения 2) и 3) следуют из 1).