Лекция 10: Численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Пограничный слой A'A. На этом участке за малое время траектория из точки {u₀, v₀} переходит в - окрестность кривой f = 0. Здесь траектория почти горизонтальна и приближенно определяется дифференциальным уравнением
   

   ( так как ).

   В окрестности кривой f(u, v) = 0 имеем f'_u < 0, поэтому допустима оценка

   

   откуда видно, что f(u, v₀) стремится к нулю как экспонента с показателем

   
   т.е. f становится малой величиной ( ) за время
2. Квазистационарный режим. Движение точки {u(t), v(t)} продолжается уже по участку кривой AB, f(u, v) = 0 и описывается системой
   

   На этом участке за время что видно из второго уравнения, точка подвигается от A к B, пока система ОДУ устойчива. В случае невозмущенной системы точка могла бы и далее продвигаться по участку BD, но для полной системы эта ветвь оказывается неустойчивой (f'_u > 0) и траектория "срывается" на устойчивую ветвь CD в точке B, в которой f'_u = 0.
3. Пограничный слой. На участке BC точка {u(t), v(t)} "перескакивает" из B в C за малое время ; движение здесь, как и на ветви AB, приближенно описывается уравнениями
   
4. Квазистационарный режим. Движение по ветви CD, как и по ветви AB, описывается уравнениями
   

   и длится
5. Пограничный слой. На неустойчивой ветви DA также, как и на ветви BC, происходит скачок из точки D за время в устойчивую точку A, и т.д.

   Такое поведение траектории (замкнутая кривая) называется предельным циклом. Для жестких систем периодические решения называют иногда релаксационными колебаниями [9.6], [9.7].

   Таким образом, это характерно для жестких систем, траектория состоит из чередующихся участков быстрого (за время ) и медленного (за время ) изменения решения.

Рассмотрим проблемы, которые могут возникнуть при численном интегрировании подобных жестких систем ОДУ. Численное интегрирование в зоне пограничного слоя, если оно необходимо исследователю, проблемы не составляет. Требуется лишь выполнение условия

В зоне квазистационарного режима часто оказывается, что интегрирование с таким шагом слишком дорого. Можно, правда, разрешить уравнение f(u, v) = 0 относительно u и далее интегрировать его, предварительно реализовав алгоритм перехода на другой шаг:

однако в случаях более сложных, построение подобных численных методов может оказаться отдельной сложной задачей.

Чаще всего в практике численных расчетов целесообразно использовать неявные схемы. В случае ЖС ОДУ неявные схемы предпочтительнее из соображений устойчивости. Так, рассматриваемую задачу можно аппроксимировать системой дискретных уравнений:

Эта система нелинейных уравнений может быть решена численно, например, методом Ньютона. Иногда полагают, что неявные схемы позволяют проводить численное интегрирование сквозным методом с большим шагом Рассмотрим, к чему это может привести.

Первый пограничный слой будет пройден за один шаг:

так как мало.

Далее следует процесс численного интегрирования на устойчивой ветви AB. В окрестности точки B поведение численного решения по неявной схеме осложняется. Это связано с тем, что рассматриваемая система в данной окрестности может иметь более одного решения. При этом, по крайней мере, одно из решений нелинейной алгебраической системы может лежать на неустойчивой ветви CD кривой f(u, v) = 0. Возможно, что при выборе большего шага интегрирования получится именно это нефизическое решение, к которому сойдутся итерации.

Такую опасность необходимо всегда учитывать при проведении численного интегрирования по неявным схемам с большим шагом.