Алгоритмы на абстрактных структурах данных

Двоичные деревья

Основные определения и понятия о графах даются в "лекции 12." В "лекции 16" и " 17" рассматриваются комбинаторные алгоритмы на графах. В данной лекции приведены несколько понятий, необходимых для описания абстрактной структуры данных, - двоичное дерево.

При решении многих задач математики используется понятие графа. Граф - набор точек на плоскости (эти точки называются вершинами графа ), некоторые из которых соединены отрезками (эти отрезки называются ребрами графа ). Вершины могут располагаться на плоскости произвольным образом. Причем неважно, является ли ребро, соединяющее две вершины, отрезком прямой или кривой линией. Важен лишь факт соединения двух данных вершин графа ребром. Примером графа может служить схема линий железных дорог. Если требуется различать вершины графа, их нумеруют или обозначают разными буквами. В изображении графа на плоскости могут появляться точки пересечения ребер, не являющиеся вершинами.

Говорят, что две вершины графа соединены путем, если из одной вершины можно пройти по ребрам в другую вершину. Путей между двумя данными вершинами может быть несколько. Поэтому обычно путь обозначают перечислением вершин, которые посещают при движении по ребрам. Граф называется связным, если любые две его вершины соединены некоторым путем.

Состоящий из различных ребер замкнутый путь называется циклом. Связный граф, в котором нет циклов, называется деревом. Одним из основных отличительных свойств дерева является то, что в нем любые две вершины соединены единственным путем. Дерево называется ориентированным, если на каждом его ребре указано направление. Следовательно, о каждой вершине можно сказать, какие ребра в нее входят, а какие - выходят. Точно так же о каждом ребре можно сказать, из какой вершины оно выходит, и в какую - входит. Двоичное дерево - это такое ориентированное дерево, в котором:

1. Имеется ровно одна вершина, в которую не входит ни одного ребра. Эта вершина называется корнем двоичного дерева.
2. В каждую вершину, кроме корня, входит одно ребро.
3. Из каждой вершины (включая корень) исходит не более двух ребер.

Граф задается аналогично спискам через записи и указатели.

Программа 4. Создание и работа с деревом.

//Алгоритм реализован на языке Turbo-C++.
//Вершины дерева задаются структурой: поле целых,
//поле для размещения адреса левого "сына" и поле для размещения
//адреса правого "сына"
//Значение целого выбирается случайным образом из интервала 0..99.
//Число уровней дерева равно N. В примере N = 5.
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#define N 5
struct tree{int a;
        tree* left;
        tree* right;};

void postr(tree* root,int h)
{
 root->a=random(100);
 if (h!=0){
 if (random(3)){
  root->left=new(tree);
  postr(root->left,h-1);}
 else root->left=NULL;
 if (random(3))
  {root->right=new(tree);postr(root->right,h-1);}
 else root->right=NULL;}
else {root->right=NULL;root->left=NULL;}
}

void DFS(tree* root)
{printf("%d ",root->a);
 if (root->left!=NULL)  DFS(root->left);
 if (root->right!=NULL) DFS(root->right);}

void main()
{clrscr();
 randomize();
 tree* root1;
 root1=new(tree);
 postr(root1,N);
 DFS(root1);
 getch();
}